g-g II. PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



«e + ,, = 2(— )+2(— ) 



(«+&r+6'=2[(;y+(j + ?>y] 



Questi teoremi servono di base a un certo particolare algoritmo, che Zeuthen (0 h» 

 chiamato assai felicemente Algebra geometrica, mediante il quale i Greci poterono 

 risolvere tutti i problemi che oggidì noi sciogliamo col mezzo di equazioni di grado non 

 superiore al secondo. L'analogia fra il metodo antico e l'odierno è così perfetta, che le 

 dimostrazioni dei teoremi anzidetti date da Euclide sono identiche nella sostanza alle 

 moderne: l'unico divario sta in ciò che, in luogo di operazioni algebriche, si hanno 

 costruzioni geometriche (tracciamento di rette, costruzione di quadrati, di rettangoli, 

 ecc.) (-) Non vogliamo lasciare inosservato che il teorema di Pitagora ha ivi una parte 

 cosi importante che il Libro degli Elementi II è stato da taluno designato come 

 un commento di esso. 



Delle citate proposizioni il geometra Alessandrino fa uso nelle altre quattro 

 dello stesso Libro per dividere una retta in due parti tali che il quadrato dell'una sia 

 eguale al rettangolo dell'altra e dell'intera retta {divisione di una retta in media 

 ed estrema ragione), per costruire un quadrato eguale a una data figura rettilinea [co- 

 struzione della media proporzionale fra due rette date) (3) e per dimostrare i teoremi 

 che insegnano a esprimere il quadrato di un lato di un triangolo qualunque in funzione 

 dei quadrati degli altri due. 



9. Nel III Libro Euclide imprende lo studio dell'unica linea che trovò accesso 

 negli Elementi : la circonferenza. Dopo avere insegnato a determinare il centro di una data 

 circonferenza, egli espone le primo conseguenze che derivano dalla definizione di essa, e 

 precisamente, si occupa delle rette massime e minime fra quelle che vanno da uà punto 

 a una circonferenza, dalle intersezioni e contatti di circonferenze, della grandezza rela- 

 tiva delle corde, delle rette tangenti, degli angoli aventi per vertice il centro o un punto 

 della curva, di segmenti e di trasversali. In breve : nel terzo libro sono considerate tutte 

 quelle questioni relative al cerchio che si possono trattare senza ricorrere alla teoria delle 

 proporzioni. Questa parte degli Elementi è probabilmente dovuta ai geometri del v secolo 

 a. C. i quali, nell'intento di risolvere il problema della quadratura del cerchio, rimedia- 

 rono alla mancanza assoluta di ricerche su questo argomento nella Scuola di Pitagora C^). 



(1) V. il 1 Capitolo dell'opera KegUsnillaeren i Oldiiden (Mem. deW Accademia danese, VI serie, 

 3* Voi. 1884). Per comodo del lettore citerò in seguito la traduzione tedeBca fattane dal FisraER-BENzoN 

 col titolo Die Lehre der KegeUchnitle im AUerthum (ICopenhagen 1886). 



(2) Non sarebbe assai opportuno che chi insegna il II Libro di Euclide avesse cura di rilevare 

 questa notevola concordanza .' 



(3; Riguardo a questi problemi e in genere a quelli che si possono risolvere mediante equazioni 

 quadratiche, si consulti l'impiM-tante .Memoria di V. T/LifiKV.'a.'i, De la solution lìéometrique des problimts 

 rfu second degré ananl Euclide (Mém. de la Soc. des Sciences phys.el «a(. de.Borrf«at<a;, 2' Serie,t IV 

 p. 396-416). 



(4) Allman, op. cit. p. 81. 



