SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 



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10. Xel IV Libro (del quale una parte almeno era conosciuta da Pitagora) 

 Euclide trae profitto dai risultati già ottenuti per risolvere problemi relativi alla in- 

 scrizione circoscrizione di circonferenze in o a dati poligoni ; alla costruzione di un 

 triangolo isoscele avente gli angoli alla base doppi dell' angolo al vertice ; a quella dei 

 poligoni regolari di tre, di quattro, di cinque (costruzione già nota nella Scuola di Pita- 

 gora), di sei e di quindici lati, lasciando al lettore di trovare la costruzione del decagono 

 regolare : notevole è la deduzione del lato del poligono regolare di quindici lati da quelli 



dei poligoni regolari di tre e cinque fondata sull'identità -/- — -1 =— . 



11. Esaurita cosi tuttala parte della Geometria elementare che è indipendente 

 dal concetto di misura, per potere proseguire è necessario introdurre questa nuova 

 nozione ; ciò vien fatto nel V Libro il quale è destinato all' esposizione della teoria 

 delle proposizioni per grandezze qualunque ('): ci esprimiamo cosi perchè, sebbene 

 Euclide ragioni sempre su linee, pure queste non hanno altro ufficio che di facili- 

 tare l'intelligenza porgendo al lettore una particolare rappresentazione concreta degli 

 enti considerati, mentre le argomentazioni sono affatto generali (-). Questo libro è uno 

 di quelli che resistono con maggior successo allo spirito innovatore ; malgrado le acerbe 

 critiche che ad esso vennero fatte (3) o malgi-ado anche le interpolazioni di com- 

 mentatori inesperti da cui è deturpato, esso è ancor oggi considerato come una delle 

 più ingegnose produzioni dello spirito umano e come uno dei più splendidi mo- 

 numenti della Greca Geometria; onore dunque a Eudosso da Cnido che è designato 

 come colui che ne fornì il materiale (*) ! Se non ci dilunghiamo di più su di esso, 

 gli è che i suoi pregi singolari non si possono apprezzare che con uno studio approfon- 

 dito e diretto (5). 



12. 11 V Libro porge elementi per uno studio metodico di una teoria i cui 

 germi son dovuti a Talete e di cui molte proposizioni dovevano essere note a 

 Pitagora, cioè la similitudine : tale teoria, almeno per quanto si riferisce al piano, 

 forma l'oggetto del libro successivo. E inatile che riportiamo i teoremi su triangoli, 

 parallelogrammi e poligoni simili, sulla bisettrice d'un angolo interno di un triangolo 

 qualunque e sull'altezza abbassata dal vertice sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo. 

 Così pure ci dispensiamo dal riferire gli enunciati dei problemi risolti, soltanto notiamo 

 le nuove soluzioni che ricevono i problemi : « costruire la media proporzionale fra 

 due linee date » e « dividere una data retta in media ed estrema ragione. » Impor- 



(1) Questa teoria, limitata a grandezze commensurabili, era nota con ogni probabilità ai Pitagorici. 

 Gfr. Allman, Op. cit. p. 47 e 211. 



(2) A fine di mettere meglio in evidpiiza questo fatto il Bertini Dell'esporre il V Libro di Euclide 

 ragionò indiffereutemente su rette, ardii circolari, angoli e rettangoli; il che ci sembra ottimo consiglio. 



(3) Molte di esse, specialmeato quelle clie rimettono le defiaizioni di ragione e proporzioni, tro- 

 vansi raccolte e combattuta dal Barrow nelle p. 18-23 delle Lectiones iValhematicae XXIII in quibus 

 principia matheseos generalia exponuntur, stampate a Londra nel 1683 e che fanno anche parte del- 

 l'opera The Mathematical Works of Isac Barrow, edited by the Triniti/ College, by W. Wbbwelu 

 (Cambridge 1860). 



(4) Hankel, op. cit. p. 393. 



(5) Per tale studio si può invocare l'aiuto della bella analisi di questo Libro fatta da Hanrel, 

 1. e , p. 389-08. 



