378 IL PERIODO AUREO DELLA. GEOMETRIA GRECA 



tante è la prop. 27 che risolve un problema di massimo; né meno lo sono le due 

 successive le quali, convenientemente interpretate, risolvono le equazioni di secondo 

 grado X {a±x)=^h- , ma che, anche nella loro forma, non sono prive di interesse, giacche 

 insegnano a trovare su una data retta ^.B o sul suo prolungamento un punto X tale 

 che nn parallelogrammo di dati angoli e di lati AX q B X sia eguale a un dato 

 rettangolo (*). 



13. Nei tre libri successivi ("') Euclide lascia la Geometria per esporre alcune 

 teorie dell'Aritmetica dei numeri razionali trovate prima di lui dai Pitagorici (Heiberg) 

 e da Teeteto (Tannery). 



All'esposizione del loro contenuto premettiamo l'osservazione che, mentre in Euclide 

 la Geometria forma una scienza completa che basta a sé stessa e non invoca per le sue 

 dimostrazioni l' aiuto della Scienza dei numeri, questa piglia a prestito dalla Geometria 

 la nomenclatura e ne chiede l'aiuto per rendere più perspicue le sue dimostrazioni. 



Come introduzione del VII Libro troviamo un numeroso drappello di definizioni, 

 molte delle quali si riferiscono alla teoria della divisibilità; oltre alle nozioni di mi- 

 merò primo e numero composto, di numero pari e numero dispari, di numeri pro- 

 porzionali, di numeri perfetti, ecc., che si trovano anche nelle esposizioni moderne 

 della teoria dei numeri, incontriamo anche le definizioni di numero piano (prodotto 

 di due fattori) e numero solido (prodotto di tre fattori), di numeri simili, ecc. che 

 vennero poi abbandonate. La teoria delle divisibilità — la prima che viene insegnata da 

 Euclide — non differisce sostanzialmente dall'odierna. Altrettanto dicasi della teoria 

 delle proporzioni, la quale non è senza meraviglia che si incontra esposta qui in parti- 

 colare pei numeri mentre si era già vista per le grandezze in generale nel V Libro, 

 meraviglia che cresce osservando come il confronto fra i Libri V e VII non permetta 

 che si dubiti avere l'antico geometra riconosciuti i vincoli strettissimi fra essi esistenti. 

 Una spiegazione di questa ripetizione si può trovare nella ripugnanza di Euclide a 

 invocare principi generali , qual è appunto l'affermazione che un numero è una 

 grandezza; un'altra spiegazione si offre a chi P) ammette contenere il VII Libro la 

 esposizione della teoria delle proporzioni per grandezze commensurabili come fu eretta 

 nella scuola di Pitagora, tenendo conto del desiderio, da cui era dominato Euclide, 

 di cambiare il meno possibile quanto era stato fatto prima di lui. 



14. Nel Libro Vili, che si collega intimamente a quello che lo precede, le 

 medesime considerazioni vengono maggiormente sviluppate. Euclide considera dapprima 

 le serie di numeri proporzionali, avendo di mira la scoperta delle relazioni che inter- 

 cedono fra essi per quanto si riferisce alla divisibilità. 



Per comprendere bene lo spirito delle proposizioni successive si tenga presente 

 che chi considera solo numeri di una specie (p. es. numeri razionali), ogni qualvolta 

 risolve un problema, deve porsi la questione se esso sia risolubile cogli enti di cui 



(1) Sulle tre prop. citate si vegga Matthiessìs, Grundiùge der antiken und modernen Algebra der 

 liUeriden Qleichungen (Leipzig 1878) p. 026-32; FavaRo, Noliiie storico-critiche sulla costruitone dette 

 equazioni (Vem. dell' Accad. di Modena, 1878-79, p. 132-3). 



(2) Hankei-, 1. e, p. 392. Si vegga anche Hunger, Die arithtneliscke Terminologie der Griechen, 

 als Kritertiim ftir das System der griechischen Arithmetili (Eioladungsaclirift dea Gymnasiums in Hil- 

 deburghausen 1874). 



(3) HlNKGL, op. cit, p. 390. 



