SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 379 



dispone (p. es. dati due numeri deve domandarsi se sia possibile inserii'e fra essi un 

 determinato numero di medie) : si riconoscerà allora che non poche di quelle proposizioni 

 tendono appunto a rispondere a questioni di questo genere. Altre poi nascono considerando 

 le relazioni fra i lati di numeri piani (in particolare quadrati) e solidi (in particolare 

 cubi) aventi fra loro un'assegaata dipendenza, proposizioni che hanno le loro analoghe 

 nei numeri che sono prodotti di quanti si vogliano fattori primi. 



15. Verità analoghe sono fatte conoscere nel libro seguente. Senza tediare il 

 lettore coli 'enumerarle tutte, citeremo le tre che hanno maggior importanza. Asserisce 

 la prima (prop. 20) che la serie dei numeri primi è illimitata. Dalla seconda (pro- 

 posizione 34) con una semplice osservazione si desume l'espressione di quanti si vogliano 

 termini consecutivi di una progressione geometrica. E scopo della terza (prop. 35) è 

 d'insegnare un procedimento per costruire un numero perfetto: se 2"— 1 è un numero 

 primo, 2"~'(2"— 1) è un numero di questa specie; così per )»:=2, 3, 5, 7, 13, 17, 

 19, 31 e 61 si hanno nove numeri perfetti (^); questo procedimento è notevole in sé e 

 perchè conduce a una serie infinita di numeri perfetti, a tutti quelli che sono pari, 

 ne sappiamo se ve ne siano di dispari (2). 



16. Il X Libro degli Elementi è il più lungo e più prolisso e, diciamolo pure, 

 il meno divertente e il meno letto ; la sua importanza intrinseca è però tale che il 

 Nesselmann (3), dopo averlo studiato a fondo, concluse che esso è quello che presenta 

 l'antico matematico nella sua massima gloria. 



È argomento di esso la teoria degli irrazionali (aXo'/Of). A questo proposito bisogna 

 notare che la parola incommensurabile {x7Vtj.u.ETpo;) ha per Euclide il significato che ha 

 per noi la parola irrazionale, ma che per lui è razionale (prtTÓg), qualunque sia a, 

 anche ^a, perchè il suo quadrato è razionale, mentre non lo sono a yi e Ya ^b 

 perchè l'una e l'altra di queste espressioni, rappresentando una superficie, non si può 

 elevare a quadrato e in conseguenza non ha quadrato razionale (^). 



Premesso, a mo' di lemma, la proposizione « Date due grandezze diseguali, se 

 dalla più grande si toglie una grandezza maggiore della sua metà, dal residuo si 

 toglie pure una grandezza maggiore della sua metà, e cosi via, si finirà coU'ottenere 

 una grandezza minore della più piccola », Euclide insegna la maniera di riconoscere 

 se due grandezze siano commensurabili e di trovare, ove lo siano, la loro massima 

 comune misura; aggiungendo poi alcuni teoremi concernenti la commensurabilità e 



(1) V. Seelhoff, Die neunte vollkommene Zahl (Zeitschrift fur Mathetn. u. Phys., t. XXXI, 1886, 

 p. 174-78 e 320). 



(2) Lebeugve, Note sur les nombres parfaits {Nouv. Ànnales de Utathématiques, t. Ili, 1844, p. 552). 



(3) 0(1. cit., p. 184. Aggiungasi che, quantunque ei ammetta essere alcune delle proposizioni ivi 

 dimostrate (p. es. la 9) di Teetoio d'Atene, pure si ritiene che il Libro X sia il più originale fra quelli 

 degli Elementi (v. Allman, op. cit., p. 207-12). 



(4) La ragione per la qu.-ilo Kucli'le riunì sotto lo stesso nome di razionale i due casi di com- 

 mensurabitità in lungheria e delle coinìnensurabililà a potensa è ignota. Chasi.es fece [Comptes rendus, 

 t. 37, 1853, p. 556-7) un'ipotesi che merita di essere riportata se non altro perchè è ardita e ingegnosa. 

 Il Lamé nelle sue Lepons sur Vèlaslicilé des corps solides (Paris 1852) nel classificare i fenomeni vibra- 

 tori di una membrana rettangolare ebbe a considerare (p. 122-30) come di eguale importanza i due 

 casi della commensurabilità e della commensurabilità a patema dei due lati della membrana. Ora, vieta 

 la relazione stabilita nella Scuola Pitagoi ica fra aritmetica e musica, non si può supporre che Kuclide, 

 nel proporre quella denominazione, siasi ispirato a verità professale dal grande filosofo di Samof 



