380 IT' PERIODO AT-REO DELLA GEOMETRIA GRECA 



incommensurabilità ili certe linee. Notevoli assai sono le prop. 18 e 19 ove si trovano 

 delle condizioni jter V esistenza di radici dell'equazione x (a ~ x) = — (cioè di numeri 



razionali che le soddisfacciano) : il ragionamento ivi fatto — come tutte le dimostrazioni 

 di teoremi aritmetici — è basato su considerazioni di Algebra geometrica. Accenniamo 

 anche al Lemma I premesso alla prop. 30 ove si impara il metodo per costruire 

 dei triangoli rettangoli in numeri basato suU' identità (nr — n-f + {2 mn)' = {m' + n')' . 

 Ma la maggior parte del libro X è consacrata alla costruzione e allo studio di 

 una serie di espressioni irrazionali che tutte misurano linee costruibili mediante riga 

 e compasso e porge la soluzione geometrica dell'equazione biquadrata e i principi di 

 quella della equazione triquadrataC^!. Le funzioni irrazionali considerate da Euclide 

 sono le seguenti: La prima èia wef?/a/e (p-Er/-,) V^ft y'ò, la seconda è la hinomiàìe 

 (fi VA Bue, òvou-KT-jv) ya + \/b, la terza è Vapotome (yno-oart) |/a — |/Z»: è da avvertire 

 che in tutte tre queste espressioni uno dei numeri a e b può essere un quadrato, ma non 

 possono esserlo entrambi. Vi sono poi due sorta iìbimediali, (r, ex ovo [iha-j npàrr,) 



cioè Voò + 1/ - ^« 6 e \ab-\- 1/ r V'« '^ ^ ^'^^ apotenii mediali {r, ij/lrr,? y.r<ozoiì:r, -pr»;) 

 le cui espressioni si ottengono da queste ultime cambiando in — il segno + che connette i 



due radicali. I due irrazionali 1/ L^!_Lf- \/6 ± 1/ ^^ — ;^-^ ]/h si chiamano maggiore (v5 



p.£t'?wv), quello che corrisponde al segno +,minore{;f,k\àa'7a'j) l'altro. Finalmente, se nelle 



espressioni a=i=- Vh^—c^, ' ±a, y'adtVa — arf', aziz^a^ — d, ^a^+d ± a, 

 b yh^ — e' 



^a±ya — d si prende il sogno +, si ottengono sei nuove specie di mediali, se invece 



si prende il —, si ottengono altrettante miove specie di apotomi. Chiuderemo questa 



enumerazione coli' osservare che ad Euclide non isfugge l'esistenza d'infiniti irrazionali di 



ordine superiore alla mediale — infatti nella prop. 117 egli considera appunto quelli 



TI 



del tipo |/rt — e col rimandare il lettore desioso di maggiori informazioni sul Libro di- 

 scorso (2), alle belle analisi fattene da Nesselmann (3), Chasles(^\ Tannery (5) e Christensen (6), 

 le quali sono capaci di chiarirgli tutti i punti oscuri presentati a lui dall'originale (7). 



(1) Secondo il De Morgan (cfr. Ali.man, 1. e, p. 212) la classificazione e lo studio degli irrazionali 

 fatto da Euclide nel X Libro erano stati invece da lui intrapresi nella speranza di dedurne il rapporto 

 della circonferenza al diametro e quindi risolvere il problema della quadratura del cerchio. 



(2) Aggiungiamo qui la notizia che l'ultima proposizione del Libro X ne forma quasi un'appen- 

 dice e afferma l'irrazionalità della diagonale di un quadrato di lato razionale; ò dubbio se essa sia 

 dovuta ad Euclide o a qualche commentatore cfr. Allman , 1. e, p. 219); ad ogni modo si ammette 

 che il ragionamento ivi esposto sia quello che condusse i Pitagorici alla sua scopeita. 



(3) Nesselmann, 1. e, p. 165-86. Cf. anche Gow 1. e, p. 78-80 ove sono riportate le osservazioni 

 del De Morgan sul X Libro di Euclide. 



(4) CsASLES, Comptes rendus de VAcadémie des Sciences de Paris, XXXVII, 18r)3, p. 555-62. 



(5) Nella citata Memoria De la solution geometrique, etc, p. 401-4. 



(6) Ueb&r Gleichungen vierten Grades in sehnten Buch der Elementi Euclid's (Zeit. f. Matb. u. Phys., 

 t. XXXIV, 1889, Hist.-Lit. Ablh., p. 201-217. 



(7) < La ditlìcultó du X Livre d'Euclide est, à plusieurs , devenue en horreur, voire jusqu'h 

 l'tppeler la croix des mathómaticiens, matière trop dure à digérer, et en la quelle n'aperfoivent aucune 

 utilitc. • (Stevin, 1 Livre d'Jritmétique, déf. XXI). 



