SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 381 



17. Neil 'XI Libro degli Elementi si abbandona l'Aritmetica per riprendere lo studio 

 della Geometria, si abbandona il piano per assurgere allo spazio. Com'è naturale questo 

 libro comincia con una serie di definizioni : esse si riferiscono ad angoli di piani e rette 

 di piani fra loro, a piramidi e coni, a prismi e cilindri, a poliedri e sfere. Seguono 

 poi molti teoremi concernenti intersezioni di piani, rette perpendicolari a piani, rette 

 parallele nello spazio, angoli di rette che s'incontrano essendo situate comunque nello 

 spazio, angoli triedri, parallelepipedi e poliedri. 



18. Il libro successivo è pure consacrato alla Stereometria. A dir vero le prime 

 due proposizioni appartengono alla Geometria piana (la prima insegna che il rapporto 

 di due poligoni simili inscritti in due cerchi è eguale al quadrato del rapporto dei loro 

 raggi, e l'altra — che è la prima applicazione della prop. 1 del libro X, 1 primo 

 esempio offerto da Euclide del metodo di esaustione (') — determina il rapporto delle 

 aree di due cerchi qualunque (2)) ; ma esse furono accolte in questo Libro per l'ana- 

 logia che presentano con quelle che servono a stabilire il confronto fra piramidi, prismi, 

 coni, cilindri e sfere e che riempiono la maggior parte del Libro stesso P). Riguardo 

 alla dimostrazione del teorema che chiude il Libro (due sfere stanno tra loro in ragione 

 triplicata dei loro diametri) osserveremo col Peyrard W che Archimede vi giunse più 

 rapidamente, ma dovette invocare principi che il geometra Alessandrino ha escluso : 

 questa esclusione stessa lo ha costretto a bandire dalla sua opera alcune importanti 

 proposizioni — p. es. quella che afferma l'eguaglianza del rapporto delle periferie di due 

 circoli al rapporto dei loro raggi. 



19. Le prime dodici proposizioni dell'ultimo Libro fanno parte della Planimetria; 

 cinque di esse (prop. 1 — 5) concernono la divisione di una retta in media ed estrema 

 ragione e si considerano come anteriori a Euclide e forse dovute a Eudosso da Cnido (5); 

 la successiva (separata da quelle dalle definizioni di Analisi e Sintesi C')) serve a 

 decidere di quale specie d'irrazionali siano le rette che si ottengono dividendo una 

 retta in media ed estrema ragione, e nella prop. 11 è fatta la ricerca analoga per il 

 lato del pentagono regolare inscritto in un cerchio di raggio razionale ; le prop. 7 e 8 

 si riferiscono pure al pentagono regolare, mentre le 9 — 12 insegnano quali relazioni 

 intercedano fra i lati del triangolo, del pentagono, dell'esagono e del decagono regolari 

 inscritti in uno stesso cerchio e il raggio di questo. 



La parte rimanente del libro ha per oggetto la costruzione dei cinque poliedri 

 regolari e il loro confronto: come chiusa sta l'osservazione che i cinque poliedri co- 

 struiti sono gli unici poliedri equilateri ed equiangoli esistenti. 



(1) Cfr. DuHAMEL, fAéments de Calcul infinitésimal (II Ed. 1874) t. 1, p. 27. 



;2i Lo Stolz ha rilevato (Afath. Annalen, t. XV, p. 269) che in questo punto il trattato euclideo 

 è difettoso. Infatti per la Uef. 3 del V Libro hanno rapporto quelle grandezze tali che esi.sla un mul- 

 tiplo dell'una che sia maggiore dell'altra; onde prima di parlare di rapporto di due circonferenze bi- 

 sogna dimostrare che esiste una circonferen/.a multipla di una di esse e maggiore dell'altra. 



(3) Per esplicita attestazione di Archimede, due proposizioni di questo libro furono scoperte da 

 Eudosso : sono quelle (7^ e lO'J in cui vien determinato il rapporto tra una piramide e un prisma, 

 oppure tra un cono e un cilindro aventi la stessa base e la stessa altezza. 



(4) Les oeuores d'Euclide, t. Ili, p. IV e V. Cfr. anche Oeuvres d'Archtmède, traduìles lettéraìe- 

 ment avec un commenlaire (Il Ed. 1808) t. I, p. LUI e 374. 



(5) Allman, op. cit., p. i;-!6. 



(6) Sono di Eudosso, come crede I'Allman (Op. cit., p. 137)? 



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