396 IL PERIODO AUREO DELI,A GEOMETRIA GRECA 



Cnido (1) e che, come vedremo, condusse Archimede a tante altre magnifiche conse- 

 guenze. Tale metodo ha i suoi fondamenti in un principio , enunciato per superficie 

 nella lettera dedicatoria a Dositeo, enunciabile in generale così : « Date due linee, due 

 superficie o due solidi fra loro diseguali, la loro differenza può essere presa un numero 

 di volte abbastanza grande perchè la linea, la superficie o il solido risultante, superi 

 qualunque linea, superficie o solido ». Questo principio, che oggi si vuol chiamare 

 assioma di Archimrcìe, era conosciuto sin da prima (lo afferma Archimede stesso nella 

 lettera citata e d'altronde Euclide aveva fatto uso di uno equivalente), ma nessuno aveva 

 visto quale parte importante esso avesse in tutte le più difficili questioni della 

 Geometria di misura (2). 



Osserviamo da ultimo che il libro in discorso ci dà anche un'idea dello stato delle 

 cognizioni sulle coniche che si avevano al tempo di Archimede, giaccliè le prime cinque 

 proposizioni di esso insegnano appunto delle proprietà della parabola (ad esempio la 

 prop. 4 dice lo stesso che l'equazione della curva riferita a un diametro e alla tangente 

 nel suo estremo). 



Abbiamo detto che Archimede giunge a quadrare la parabola applicando il I Libro 

 dello scritto SulV equilibrio dei piani ; aggiungiamo ora che, ottenuto questo importante 

 risultato, egli osserva che, così procedendo, egli aveva risolto un problema con mezzi 

 estranei al problema stesso; perciò, nell'ultima sezione dell'opuscolo in discorso egli 

 ripiglia ex novo la questione e, dopo avere dimostrate delle nuove proprietà della 

 parabola e calcolata con metodo geometrico la somma dei termini di una progressione 

 geometrica, conclude nuovamente essere l'area di un segmento parabolico quattro terzi 

 del triangolo che ha per base la base del segmento e per vertice il vertice di esso. 



6. Il I Libro Su la sfera e il cilindro (?) è dedicato a Dositeo e comincia 

 con una serie di assiomi, definizioni e principi (*). Fra questi ultimi il V non è che 



\ X X A 



relazioni che la serie X, X, Xg . . . ha con P e tali inoltre che sia ^ — tr^^^=...— f^. Sai à 



,, P A 

 allora- = g. 



A P A P ■> 



Infatti ee =5 non ò uguale a -, , allora sarà n = -^ ove S "i Q. Sia S < Q. Allora per le ipotesi 

 li y D o ^ 



fatte e per la proposizione I noi possiamo trovare un termine Y„ della seconda serie die sia più pros- 

 simo a y di S: tale cioè che si abbia Q — Y„ < Q — S: sarà quindi Y„ > S. Allora, per essere 



X„ A P X„ Y„ 



y- = 5 = o sarà ir ~ "e" • Ora X,, < P, dunque Y„ < S; ma si è già trovato Y„ > S, onde ò 



A P 

 assurda l'ipotesi S < Q. Similmente si dimostra esserlo l'ipotesi S > Q. Quindi - =r _ > Gow. 1. e. 



p. 171. 



V. anche Carnot, Réflexions sur la nìétophysique du calcul infinitésimal , (2* Ed., Paris 1813) 

 p. 134-14;:!; Duhamel, Op. cit. p. 26 e 33; e Zkuthen, Gap. XX dell'op. oit. 



(1 Allman, op. cit. p. 139. 



(2) Sull'assioma d'Archimede e la sua importanza nella teoria delle grandezze, il lettore con- 

 sulterà con profìtto gli studi pubblicati dallo Stolz nei Volumi XVIII e XXII dei Mathemalische 

 Annoleti. 



(3) Cfr. le 25* e 26* delle ciisXe Lectiones mathematicae M Barhow ove i risultati di Archimede 

 BÌ trovano esposti sotto forma più moderna, in parte analitica. 



(4) L' Ali.man, ammette (op. cit. p. 187) che questi principi siano anteriori ad .\rchimede. Essi 

 vengono invocati oggi ancora, tanto che Laqranqe nell'intraprendere la trattazione della rettifica- 

 zione di una curva scriveva: « Nous partirons, pour la solution de ce problème , du principe 

 d'ARCBtMÈDi!, ndoptó par tous les géomètres anciens et modernes , Buivant lequel de deux lignes 



