398 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



7. Nel II Libro Su la sfera e il cilindro W troviamo tre soli teoremi, cioè: 

 la prop. 3 che assegna il volume di un segmento sferico, la 4 nella quale sono stabiliti 

 due limiti per il rapporto dei volumi dei segmenti in cui una sfera è secata da un 

 piano (2) e la 10 avente per iscopo di determinare il massimo fra i segmenti sferici 

 di eguale superficie. Tutte le altre proposizioni sono problemi relativi ai volumi e le 

 superficie di coni, cilindri e porzioni di sfere, alla cui soluzione può accingersi chiunque 

 abbia cognizione del I Libro e dei tre teoremi ora citati del II. Taluni di questi 

 problemi sono di primo grado, altri di secondo, altri infine di terzo. Fra questi ultimi 

 alcuni riduconsi alla inserzione di due medie proporzionali fra due rette date, mentre 

 la soluzione di un altro presenta una lacuna che non sappiamo colmare ; è il seguente : 



Prof. 5. Secare con un piano una data sfera in modo che i volumi dei due 

 segmenti risultanti abbiano fra loro un dato rapporto. 



Se »• è il raggio della sfera e — < 1 il dato rapporto, si trova facilmente che 



la distanza x del piano secante dal centro della sfera soddisfa l'equazione 



a?-Sr*x + 2- »-^=0, 



l + m 



e quindi per noi il problema è ridotto alla soluzione di questa equazione. In modo 

 non sostanzialmente diverso procede Archimede, perchè egli trasforma il problema 

 enunciato nell'altro « Dato su una retta AZ un punto B tale che AB sia doppia 



, . BA^ XZ 



di BZ e dato un punto di BZ , trovare in AB un punto X tale che sia ^r^—r = — », 



Ax- ze 



e questo è precisamente un'enunciazione dell'equazione precedente nel linguaggio dell'Al- 

 gebra geometrica. Ma come Archimede lo risolvesse è ignoto, perchè egli ne rimanda 

 la soluzione alla fine del libro e questa non ci è pervenuta. Senza tentarne una divi- 

 nazione, la cui attendibilità potrebbe sempre essere revocata in dubbio, noi ci limi- 

 tiamo a segnalare al lettore le interessanti considerazioni che devono l'origine loro a 

 quella sezione del II libro Su la sfera e il Cilindro che concerne il problema di cui 

 è parola P) . 



8. Se una retta si muove in un piano rotando attorno a un suo punto fisso 

 con velocità uniforme e se un punto si muove su questa retta pure con velocità uni- 

 forme partendo da quel punto fisso, esso descriverà una linea che diremo spirale e 

 il cui studio è fine dell'opuscolo di Archimede Ylspì sXi'xqv ; ad ogni giro della retta 

 corrisponde una spira delia curva. Usando le denominazioni moderne chiameremo polo 

 il punto fisso, raggi vettori le rette che lo uniscono ai punti della curva e argomenti 



(1) Le citazioni sono sempre fatte in baae alla citsta traduzione del Petrard. 



(2) Questa proposizione, tradotta in linguaggio algebrico, dice che; se /» < R sarà 



h« h« 3R — h) / h vT 



(2R-U)» <(2R — h)«(R+ii) '^ \2K—hJ 



(3) Si vegga la nota del Pqinsot inserita dal Peyràrd nelle citate Oeuvres d'Archimede (T. I, 

 p. 394) e il Gap. XI dell'opera citata di Zeutuen. 



