SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 399 



gli angoli formati da queste rette colla posizione iniziale flella retta mobile. Indicando 

 con ù il raggio vettore e a l'argomeato di un punto della curva, con a una costante, 

 la proprietà caratteristica della spirale di Archimede si traduce nella relazione js = a o. 



Dopo che la retta mobile ha fatto n giri , il punto mobile ha descritta una 

 retta la cui lunghezza è 2n-a; onde la lunghezza della circonferenza avente questo 

 raggio (o, come dice Archimede, la circonferenza dell' k""" cerchio) è inn'a; d'altronde 

 l'angolo formato dalla tangente alla spirale nell'estremo della sua n"" spira col corri- 

 spondente raggio vettore ha, in virtù di una notissima formola, per tangente trigo- 

 nometrica 2nn; ne viene che, se dal polo innalziamo la perpendicolare alla posizione 

 iniziale della retta mobile, essa incontrerà la tangente anzidetta in un punto la cui 

 distanza dal polo è 2tinax2nT: = 4n^rr a , vale a dire è eguale a n volte la circon- 

 ferenza dell'»'"" cerchio (Archimede, Beile spirali, prop. 18 e 19): donde lisulta ma- 

 nifesta l'applicabilità della spirale d'Archimede alla rettificazione della circonferenza. 



Piii generalmente, consideriamo un punto qualunque della spirale corrispondente 



P 

 al raggio p e all'argomento 9 = ; la tangente in quel punto forma col corrispon- 



P 

 dente raggio vettore un angolo la cui tangente tngonometrica è — e incontra la per- 



a 



pendicolare condotta dal polo a quel raggio vettore in un certo punto ; ora si vede 

 subito che — misura tanto la distanza di questo punto dal polo, quanto l'arco circolare 



d 



avente il centro nel polo, passante pel punto considerato della spirale e compreso fra 

 il raggio vettore passante per questo punto e la posizione iniziale della retta mobile 

 (prop. 20) : quindi la spirale d'Archimede serve anche a rettificare un arco circolare 

 qualsivoglia. 



Cliiamiamo E, l'area descritta dal raggio vettore quando l'argomento varia fra 

 e 2;: e C, l'area del primo cerchio; più generalmente E„ l'area descritta dal raggio 

 vettore quando l'argomento varia fra 2 (n — 1) tt e 2«7r e con C, l'area deirM""" cerchio. 

 Applicando un'altra formola nota si trova facilmente 



d'altra parte 

 quindi 



in particolare 



4n^a* 



C„ = 4n'?rV, 



K_ nin-l)+\ _ 2nanx2{n-l)a7: + l(2an)* 

 C, n» "■ (2nany ' 



dunque: La superficie compresa fra la prima spira della curva e la posizione iniziale 

 della retta mobile è eguale alla terza parte del primo cerchio (prop. 24); la super- 

 ficie compresa fra la seconda spira e la stessa retta , sta al secondo cerchio come 

 7 a 12 (prop. 25); e in generale la superficie compresa fra r»'~ spira e la stessa retta, 



