-^i = « (^2 - -^i) . ^n - ^— = e* - 1) (^2—^1) 



400 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



sta alUn""" cerchio come il rettangolo delle periferie dei cerchi (n — l)"" e n'"" aumen- 

 tato della terza parte della diiferenza fra questi cerchi sta al quadrato del raggio 

 dell'n'"" cerchio (prop. 25). 

 Essendo 



E^ = \T^a\ E^-E^ = 87:^a\ E„~ E„_, = 8{n-l)n^a\ 

 o 



si hanno anche le altre relazioni 



1 



6 

 che si possono enunciare facilmente a parole. 



Consideriamo finalmente l'area S compresa fra un arco di spirale e i due raggi 

 vettori che partono dei suoi estremi; se p^ e p<,>p^ sono questi raggi vettori si trova 

 facilmente 



<> = 7; . 



ba 



chiamando poi S^ e »9, i settori circolari compresi entro gli stessi raggi vettori e 

 aventi per raggi f>^ e p., , si ha subito : 



ad 



' 2a 



^ ^ P2 + P, Pi +P' ^ \ ip-2 - P,')' + Pi P2 



S, 3^/ p,* 



^' ^ Pl + ^p^ ^ pl+l(p2-pl) 



A" p, + 2p^ p^ + ^_(p^-py 



Queste due ultime relazioni si possono enunciare a parole cosi : 

 L'area di un settore di spirale sta al settore circolare avente lo stesso angolo e 

 per raggio il maggiore dei raggi vettori limitanti quel settore, come il rettangolo di 

 questi due raggi vettori aumentato della terza parte del quadrato della loro differenza 

 8ta al quadrato del maggiore (prop. 26). 



Si prendano sulla spirale due punti qualunque e si congiungano al polo, e da 

 questo come centro, si descrivano due archi di circolo passanti per quei due punti 

 e compresi fra quelle congiuiigenti (la minore delle quali prolungata); allora la su- 

 perficie compresa fra l'arco del cerchio maggiore, il prolungamento della congiungente 

 minore e l'arco di spirale, sta alla superficie compresa fra l'arco del cerchio minore, 

 la congiungente maggiore e l'arco di spirale, come il raggio del cerchio minore au- 



2 . ^ 1 

 montato di - della differenza fra i duo raggi sta allo stesso raggio aumentato di — - 



3 o 



della stessa differenza (prop. 28). 



epperò 



