^02 IL PERIODO AUREO DRLLA GEOMETRIA GRECA 



sono gli elementi che rendono possibile l'uso del metodo di esausti one. Eichiamiamo 

 l'attenzione del lettore su quelle che recano i numeri 5-9 giacche la loro dimostra- 

 zione, essendo fondata su particolari inserzioni W, ha fornito uno dei più forti argo- 

 menti per sostenere che le inserzioni meccaniche fossero state, non soltanto adoperate 

 in pratica dagli antichi, ma riconosciute da essi come un mezzo ausiliario legittimo 

 anche in teoria quando una dimostrazione non si poteva fare con costruzioni eseguibili 

 con la riga e il compasso (2). Notiamo da ultimo che le prop. 10 e 11 esprimono 

 in linguaggio geometrico le relazioni seguenti : 



«■' + «= + (1 + 2+. . . + »0 = 3(l' + 2^ + . . . + «=) 



ll' + 2= + ... + (H-lf j<«3<3|l=+2^ + ...+7ri 



|1 -i-i- -r...-rv" — ^y |---" --^"j» -r- i ..-i " ^ 



n {a + « df (a + nd)- n{a + nd)- ,3. 



< 



a^ _}_ (a + rì)-+...+ (a + ndf a {a + nd) + 3 n'd' a'+ (a + d)-'+ ... + {a + «- 1 df 



9. Sotto il nome di conoidi e sferoidi Archimede comprende delle quadriche 

 di rivoluzione; se un ellisse ruota attorno a uno dei suoi assi si genera uno sferoide, 

 allungato accorciato secondochè l'asse di rotazione è il maggiore o il minore degli assi 

 della curva; si ha invece un conoide se una parabola rota attorno al suo asse 

 un'iperbola (cioè un ramo della curva da noi indicata con questo nome) rota attorno al 

 suo asse focale e precisamente un conoide rettangolo nel primo caso, un conoide 

 ottusangolo nel secondo (^). 11 libro destinato allo studio di queste interessanti forme 

 geometriche è esso pure diretto a Dositeo e comincia con tre proposizioni aritmetiche 

 il cui contenuto può riassumersi così : 



Prop. 1. 2(a + 2a + . . . +^^^ITa)<«^a<2(a + 2a + . . . + ««). 



(1) Come vedremo etudiando le opere di Apollonio il problema generale dell'inserzione consiste 

 (v. Gap' IV D. 13) nel disporre fra due linee date un segmento rettilineo di lunghezza data che, pro- 

 lungato se occorre, passi per un punto dato. — La natura porismatica delle citate prop. fu rilevata 

 dall' Heibero, Studien iiber Euclid p. 38-70. 



(2) Quest'opinione fu emessa dall' Opperman.n, esposta e sostenuta da Zeuthkn uel Gap. Xil 

 dell'op. cit. 



(3) Il libro Sulle spirali è dedicato a Dositeo. Nella lettera-prefazione Archimede dico che egli 

 aveva mandato gli enunciati di alcuni teoremi sulle spirali , assieme ad altri , a Cono.nb il quale non 

 potè dimostrarli essendo morto poco dopo; ciò fece credere a taluno (v. Montucla op. cif. T. I, 

 p. 226 e Pappo ed. Hultsch p. 234-35) che al contrario i teoremi fossero di Conone e che quindi la 

 spirale ne dovesse portare il nome. La falsità di quest'opinione fu dimostrila dal Nizze nello osser- 

 vazioni critiche annesse alla sua traduzione tedesca di Archimede (cfr. Canto», Vorte.iungen p. 263; 

 P. Tannert, Notes jiour l'histoire des lignes et des surfaces courbes dans l'antiqui!^, § Vili; Bulletin 

 des Sciences malhématiques , Serie II, T. VII). 



In un altro punto interessante della stessa lettera, Archimede parla di due proposizioni stereome- 

 triche da lui enunciate in addietro sotto forma errata nell' intento di confondere quelli che pretendono 

 trovare tutto. 



(4) Quindi l'unica quàdrica rotonda sconosciuta ad Abcuiuedb à l'iperboloide a una falda. 



