SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 403 



Prof. 3. Se si pone 



S=z(l + a)a + {l + 2a)2a + . . . + {l + na)na , 

 S' = (l + a)a + (l + 2a)2a + . . . + (/ + ^^UTa) ^F^- , l=^n{l + na)na 



8Ì avrà 



I, na-\- l 1 



"3'"'"2 



Segue poi una bella proposizione relativa all'area di segmenti parabolici W e quindi 

 (prop. 5-7) la valutazione dell'area dell'ellisse (Archimede la deduce dall'area del 

 circolo con un ragionamento semplicissimo tuttora adoperato) e alcune conseguenze 

 di essa. Né meno notevoli sono le tre proposizioni 8-10 nelle quali Archimede in- 

 segna a determinare un cono o un cilindro obliquo a base circolare contenente una 

 data ellisse, proposizioni che formano quasi il termine di passaggio fra la Planimetria 

 a cui appartengono le precedenti e la Geometria dello spazio di cui fanno parte le 

 successive. Le prime fra le proposizioni stereometriche (prop. 12-20) contengono delle 

 proprietà dei conoidi e degli sferoidi relative alle loro sezioni piane, alle rette pa- 

 rallele ai loro assi e ai loro piani tangenti ; con maggior precisione diremo che 

 Archimede insegna ivi a trovare le sezioni ellittiche dei conoidi e degli sferoidi ed 

 enuncia dei teoremi concernenti le loro sezioni fatte con piani paralleli all' asse ("2). 

 È notevole il fatto che in parecchi punti delle dimostrazioni Archimede fa uso in 

 realtà di un sistema di coordinate cartesiane nello spazio : i pochi particolari in cui 

 egli entra su questo argomento e l'abilità che egli dimostra nell'uso di tale strumento 

 fanno credere che questo fosse già stato oggetto di esposizioni speciali, e non sembra 

 sragionevole l'ipotesi di Zeuthen P) che una di queste fosse l'opera perduta di Euclide 

 sui Luoghi supcrficinli (v. Gap. I, n. 29). 



Queste proposizioni proludono a quelle che sono fine precipuo dell'opera, cioè 

 alle seguenti : 



3 

 Prof. 23-24. 11 volume di qualunque segmento di conoide rettangolo è -— 



del volume di un cono avente per base la base del segmento e per vertice il punto 

 {vertice del segmento) della superficie ove il piano tangente è parallelo alla base. 



(1) Sia p il semi parametro di una parabola in cui sia inscritto un triangolo A A, A,. Se d à 

 la muiliana di quosto triangolo uscente da A, ossia il ilìanmtro del segmento parabolico A, A A,, si 

 vede facilmente essere: 



area triangolo A A, Aj = 2 VZ p d^ , area segmento = -^ \^ 2 p d' . 



Quindi s^ due segminti parabolici hanno eguali diametri avranno pure eguali superficie : gli è 

 quanto afferma la prop. 4 di Archimede:. Notiamo anche che dalle formole precedenti scaturisce che 

 2 quadrati delle aree di due segmenti di una stessa parabola stanno fra loro come i cubi dei rispettivi 

 diametri. 



(2) Le dimostrazioni sottintese da Archimede furono ricostruite dallo Zeutuen nel Gap. XIX 

 della sua opera citata. 



(3) Op. cit. p. 422 e seg. 



