SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 405 



Se quindi i numeri p Q q non sono fra loro molto differenti si avranno due 



c 

 numeri vicini fra cui è compreso il rapporto — ; ora Archimede dimostra che 



a 



epperò conclude essere 



Per dimostrare le due diseguaglianze (*) egli considera successivamente i poligoni 

 inscritti e circoscritti di sei, dodici, ventif^uattro, quarantotto e novantasei lati e calcola 

 approssimativamente per eccesso quelli dei poligoni circoscritti, approssimativamente 

 per difetto gli altri, facendo uso specialmente del teorema di Pitagora e di quello 

 sulla bisettrice d'un angolo di un triangolo ('). Durante questo calcolo Archimede 

 afferma, senza dimostrarlo, che le radici quadrate dei numeri 



133 1 



349450, 1373943 + —-, 5472132 + — , 9082321, 3380929, 

 64 16 



1018405 e 4069284 + — 



36 



hanno per valori approssimati i numeri seguenti : 



591+^, 1172 + ^, 2339 + ^, 3013+^, 1838 + -^. 

 o O 4 4 11 



1009 + 1 e 2017 + i; 

 o 4 



come Archimede è giunto a questi risultati ? A questa domanda non siamo in grado 

 di dare risposta sicura. Eutocie da Ascalona (V o VI Sec. dell'E. v.) che ha commentato 

 questo libro di Archimede , ed altri (2), non ci porge aiuto, perciiè egli si limita a 

 verificarli coli" elevare a quadrato i numeri ultimi scritti, avvertendo che i metodi 

 usati dai Greci per estrarre le radici quadrato si trovano in opere speciali che egli cita : 

 ma queste, se erano famigliari ai contemporanei del commentatore, sono a noi com- 

 pletamente ignote. A sciogliere l'enigma che in questo punto ci presenta la Geometria 

 Greca furono istituite numerose e brillanti ricerche. Ma se esse devono essere citate 

 con onore per il valore intrinseco che hanno e per l'ingegno che palesano nei loro 

 autori (3) tuttavia, come tutte quelle che hanno un carattere di divinazione , non 



(1) A ragione I'Allman (1. e. p. 47 nota), dopo avere rammentato che anche gli Egiziani eransi 

 occupati della quailratura del circolo, osserva che il loro punto di vista era totalmente differente da 

 quello di Aiichimedb; mentre questi faceva dipendere la soluzione di quel problema dalla determina- 

 zione del rapporto dalla circonferenza al diametro, essi cercavano di costruire un quadrato la cui 

 area fosse eguale all'area del circolo. 



(2) AncaiMEDis Si/racusani Opera; adiecta quoque sun< EuTOCii AscALQNiTAB(7om>nenfaWa(6asilae, 

 Ioannes Hervagius, MUXLIIII). 



(3) Il GiiNTHKR attrasse l'attenzione dei dotti su alcune di queste ricerche nella Memoria Antika 

 Nàherungsmethoden im Lichle moderner Mathematik (Abhand. d. k. bòhm. Oes. d. Wissenschaften , 

 VI Folge, IX Band 1878) ; tutte poi le riassunse nel suo più esteso lavoro Die quadratischen Irrntiona- 



Serie li. Tom. XL. d' 



