406 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



possono aspirare ad essere considerate come contributi alle notizie sicure sulla Scienza 

 Ellena; tanto più allorquando si tratta di ricostruire dei calcoli approssimati in cui 

 un abile calcolatore abbandona di quando in quando il metodo generale per servirsi 

 di artifici addatti ad ogni singolo caso. La poca probabilità di riuscire tentando <li 

 ricostruire i procedimenti in uso presso gli antichi per estrarre le radici quadrate è 

 resa palese dal disaccordo fra le conclusioni a cui giunsero gli autori che su tale 

 importante questione meditarono ; se gli uni negano ad Archimede la conoscenza di 

 metodi uniformi per estrarre le radici quadrate, altri arrivano ad attribuirgli dei 

 procedimenti che in sostanza coincidono con quelli a cui mena l'applicazione delle 

 frazioni continue agli irrazionali quadratici, e all'ipotesi, non molto riverente, che Archi- 

 mede abbia sottintesi i calcoli in discorso perchè erano così poco eleganti da diminuire, 

 invece che accrescere, il pregio del suo scritto, fa contrasto quella che spiega il si- 

 lenzio del Siracusano coU'essere le lacune da lui lasciate facilmente riempibili da tutti 

 i suoi contemporanei. Non è quindi forza concludere che la questione storica indicata 

 aspetta ancora e forse aspetterà sempre una soluzione definitiva ? 



11. Le scritture archimedee dianzi esaminate hanno tutte per fine la risoluzione di 

 questioni geometriche: all'Aritmetica invece appartiene V Arenario giacche il suo fine è di 

 insegnare un procedimento per indicare dei numeri grandi quanto si voglia. Il metodo 

 proposto da Arcliimede si trovava esposto in alcuni libii diretti a un certo Zeusippo 

 che non giunsero fino a noi e in cui si dovevano trovare le dimostrazioni geometriche 

 di tutte le asserzioni ingiustificate del testo. Ma egli lo espone di nuovo nell'^^renan'o 

 — diretto al re Gelone — per dimostrare la falsità dell'opinione di coloro che cre- 

 devano impossibile indicare il numero dei grani di sabbia. A tale scopo Archimede 

 prova la possibilità di esprimere, non soltanto questo numero, ma anche quello dei 

 grani di sabbia contenuti in una sfera avente il centro nel centro della terra e toccante 

 le stelle fisse. Giudicando troppo futile questo scopo dell' Arenario, alcuni vollero 

 trovarne altri reconditi, e fra le ipotesi che vennero escogitate una ve n'ha che merita 

 di essere inserita qui in grazia della sua genialità (^). Essa consiste nel considerare 

 V Arenario come il complemento aritmetico del metodo di esaustione. 11 polo opposto 

 dell' infinitesimo è l' infinito e attorno entrambi ruota tutto il metodo infinitesimale ; 

 volendo chiarire i concetti di infinitesimo e di infinito, si ricorre con successo a con- 

 siderazioni geometriche pel primo, ma pel secondo è indispensabile rivolgersi all'Arit- 



lUàten der Alien und ihre Entwickelungsmethoden (Abh. zur Geschìchte der Mathematik. IV Heft, 

 1882). Ma più tardi io stesso argomento è stato nuovamente studiato in altre pubblicazioni di cui 

 diamo qui i titoli : 



Heilermann, Bemerkungen ju den Archimedischen Nàherungsioerthen der irrationalen Quadrat- 

 ivurieln {Zeil. f. Math. u Phys., T. XXVII, 1881, Hist.-lit. Ablh.p. 121-126). 



Weissenborn, Bemerkungen 3u den Archimedischen Ndherungswerthen der irrationalen Qvuidral- 

 xoundn {Ib. T. XXVIII, 1883, lìisl.-l.it.Ahth.\,. 81-98). 



ScHOE.sBORN, Ueber die Methoden, nach den die alien Griechen (insbesondere Archimedei und 

 Heron) QuaJraltiurjeln berechnel haben Jh. p. 169-178\ 



Weisse.nborn, Die irrationalen Quadratwurjeln bei Archimedes und Beron, Berlin 1883. 



Thiele, Archimed,:s og ^3 Tidsskrift for Mctthematik, V Serie, T. II, 1884, p. 151-3). 



Demme, Die Berechnungenirralionaler Quadratwurieln bei Archimedes und Heron {Zeit. f. Math, 

 u. Phys., T. XX.M, 1886, [list. lit. Abth. p. 1-27). 



Cfr. anchf! Heibero, Quae.il, Arch., p. 60-66. 



(l) Canior — Yorlesungen, p. 276, 77. 



