SAGGIO STORICO DI GINO LORIA 407 



metica : alla illustrazione geometrica deirinfinitesimo è connesso il metodo di esaustione, 

 la rappresentazione aritmetica dell'infinito si basa sull'Arenario. 



11 metodo di Archimede poggia su una divisione in classe dei vari numeri. Prima 

 di lui erano stati considerati i numeri da 1 fino a 10 000*, cioè dall'unità fino a 

 una miriade di miriadi: orbene Archimede chiama tutti questi, tranne l'ultimo, nu- 

 meri della prima classe, mentre all'ultimo, cioè 10*, impone il nome di unità della 

 seconda classe. A quest'ultima appartengono tutti i numeri compresi fra 10' e 10'"— 1 

 mentre 10'" è l'unità dei numeri delta terza classe; questa ultima si compone dei 

 numeri non inferiori a 10'* ne superiori a 10'*— 1. E cosi via. Ingenerale 10"'""'^ 

 sarà l'unità dei numeri della classe n""" e questa comprenderà tutti i numeri non 

 minori di 10'*'""'^ ma minori di 10"". Esposto questo sistema Archimede, crede utile 

 insegnare a determinare la classe a cui appartiene il prodotto di due potenze di 1 : 

 nella regola da lui data vi fu chi volle scorgere il germe della teoria dei logaritmi O, 

 ma a noi pare che cosi facendo si pecchi per esagerazione. 



Neir.drenar/o gli studiosi dell'Astronomia troveranno cognizioni interessanti sulle idee 



cosmologiche di Aristarco da Samo e i geometri rileveranno la seguente proposizione 



in cui è agevole avvertire un notevole substrato trigonometrico: « Siano ABC, DEF 



due triangoli rettangoli rispettivamente inCedE; se BC = DEeAC>EF sussisterà 



AB ang.DFE AC 



la relazione _-=- < „ . ^ < frr; * • 



DF ang.BAC EF 



12. Il libro dei Lemmi non si può, come abbiamo già detto, collocare fra le 

 opere dovute alla penna di Archimede, ma nulla si oppone a che si ammetta essere 

 esso una sintesi di vari risultati da lui ottenuti. Le 1 5 proposizioni che esso contiene 

 8Ì riferiscono alla teoria dei circoli ; esse non presero posto nei testi moderni di 

 Geometria elementare, ma alcune di esse si trovano però nelle raccolte di esercizi 

 di cui è costume corredarli. 



Notiamo, come più rilevanti, i seguenti lemmi : 



Prop. 4. Dato (fig. 1') un semicerchio ABC e un punto D sul suo diametro 

 AC, si descrivono nel suo interno due semicircoli aventi per diametri AD e CD. La 

 figura (ap^j-rùoi) limitata dalle tre semicirconferenze è eguale al cerchio avente per 

 diametro la retta DB perpendicolare ad A C. 



Prof. 5. Fatta la stessa costruzione di prima (fig. 1") se si descrivono due 



cerchi entrambi tangenti alla retta B D e alla circonferenza A C ma di cui uno tocchi 



la semicirconferenza AD e l'altra la CD, questi due cerchi sono fra loro eguali. 



AD 

 Prof. 6. Dato il rapporto — - trovare quello del diametro del cerchio tangente 



i) C 



AD 3 ., 

 ai tre semicerchi dianzi descritti al diametro AC; se p. es. — — = -— u rapporto 



cercato vale -— (2). 



(1) Peyraru nelle citate Oeuvres d'Archimede, T. Il, p. 428. 



(2) Architiiode ai limita a dimostrare qvieato risultato speciale, asserendo che similmente farebbe 

 in ogni altro caso. In generale il rapporto richiesto è espresso così '^^- ^ 



i — 1 



AD + AD. CD + CD 



