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Finalmente dalle (3) (4) scaturisce la relazione 



2 a X y 



X y 26 



che dimostra l'esattezza della costruzione indicata. 



4. Assai meno riposta è l'applicazione della concoide alla trisezione dell'angolo: 

 essa è fatta conoscere da Pappo con parole troppo vaghe per potere asserire con 

 certezza se essa sia opera sua o di Nicomede, mentre d'altronde Proclo l'attribuisce 

 esplicitamente a quest'ultimo. Ecco in che consiste. 



Sia (fig. 9') y- {"!>'! l'angolo (che si può sempre supporre acuto) da trisecare. Da 

 un punto qualunque a di uno de'suoi lati si conduca la perpendicolare «7 all'altro; 

 preso poi per polo il vertice (3 dell'angolo, per base la retta a 7 e per intervallo il 

 doppio del segmento a (3, si descriva una concoide, e se ne determini l'intersezione 

 r, colla parallela condotta da a a Pv. la retta ^jr, dividerà il dato angolo in due 

 parti una doppia dell'altra. Per verificarlo indichiamo con 5 il punto comune alle 

 rette «7 e pr; e con pi il punto medio di ^r,, e conduciamo a/x. Sarà 



ang. a-/;fx=ang./;.,67 



D'altra parte i due triangoli a,u.v; e [ixxiJ. sono entrambi isosceli, onde 



ang. a/3|u. = ang. a]xj3= 2ang. «vì/a. 



Perciò 



ang. a p /j. = 2 ang. p. j3 7 e. d. d. 



5. I due problemi ora studiati non sono gli unici fra quelli di terzo grado che 

 si possano risolvere mediante la concoide di Nicomede ; perchè anzi tutti i problemi di 

 tale grado si possono sciogliere coll'aiuto di questa curva, determinandone cioè le inter- 

 sezioni sia con una retta sia con una circonferenza; e dei problemi di quarto grado 

 si può in conseguenza ottenere la soluzione con una previa riduzione al terzo. Questo 

 importante risultato ottenuto da Newton W e la facilità di costruire meccanicamente la 

 curva, indussero questo celebre geometra a consigliare di ascrivere la concoide, assieme 

 alla retta e al circolo, fra le linee ausiliari nel risolvere i problemi di Geometria : 

 ciò valga a mostrare che la concoide non ha perduti oggi tutti i pregi che la face- 

 vano degna di tanta considerazione nell'antichità. 



e. Che Diocle sia posteriore ad Archimede è dimostrato dall'avere Eutocio citata 

 una di lui opera U-pl nu(S£.'cdy ove la soluzione del problema 5 del II Libro Su la 

 sfera e il cilindro (v. Gap. II n. 7) aveva ricevuto il suo completamento coll'uso di 

 due coniche ('2). Eutocio stesso espone poi (^) un procedimento inventato da Diocle 

 stesso per inserirò due medie proporzionali fra due rette date e fondato sulla con- 

 siderazione di una curva di cui insegna la generazione seguente : 



(1) Arithmétiqu* unioerselU trainile par N. Beaudeux , Paris An X, 1802, T. II p. 52 e aeg. 

 l2) Edizione citata p. 36. 

 (3) Ed. cit. p. 17. 



