428 IL PERIODO AL-REO PEI-LA GEOMETRIA GRECA 



Il libro si apre con una serie di definizioni, delle quali citiamo solo la seguente 

 « due coniche si dicono simili, se due loro ordinate corrispondenti qualunque stanno 

 fra loro come le relative ascisse, chiamando corrispondenti due ordinate che stiano fra 

 loro come i corrispondenti lati retti » ; la citiamo per osservare la differenza che esiste 

 fra essa e quella presupposta da Archimede, il quale conclude la similitudine delle sezioni 

 fatte in una quàdrica rotonda da piani jìaralleli dal fatto che in tutte ha il medesimo 

 valore il rapporto del quadrato di un'ordinata al rettangolo dei due segmenti da essa 

 determinati sull'asse. Apollonio trova anzitutto (prop. 1 e 2) le condizioni di con- 

 gruenza di due parabole, di due ellissi o di due iperbole, esclude (prop. 3) la pos- 

 sibilità delle congruenze fra coniche eteronime, dimostra (prop. 16) la congruenza di 

 due sezioni opposte (cfr. Libro I, prop. 14) e l'impossibilità di due coniche aventi 

 una porzione eguale e tuttavia non identiche. Le prop. 4 e 5 inseguano essere eguali 

 i due segmenti in cui un'ellisse è divisa da un diametro, mentre le 7 e 8 affermano 

 l'eguaglianza di altri particolari segmenti e la seguente l'eguaglianza di due archi di conica 

 determinati da due perpendicolari all'asse. Dalla 11 si rileva essere tutte le parabole 

 fra loro simili, e nelle due successive la definizione di similitudine di due coniche a 

 centro si pone sotto una forma che rende facile il persuadersi della sua concordanza 

 con la citata definizione archimedea. Esclusa l'ipotesi che due coniche eteronime pos- 

 sano essere simili (prop. 14 e 15), Apollonio esclude anche quella che siano simili 

 due porzioni di coniche dissimili (prop. 23-25), dopo essersi occupato di alcuni par- 

 ticolari segmenti simili. — A questo punto il geometra Greco abbandona il piano per 

 mostrare la similitudine delle sezioni prodotte in un cono da piani paralleli e, ripren- 

 dendo il filo delle idee che lo dominavano verso la fine del I Libro, espone la solu- 

 zione dei problemi seguenti: 



Prop. 28-30. In un dato cono trovare una sezione che sia congruente a una 

 data conica. 



Prop. 31-33. Trovare un cono retto clie sia simile a uno dato (delquale, cioè, 

 si conosce l'angolo delle generatrici coU'asse) e contenga una data conica (con una 

 limitazione se questa è un'iperbola). 



11. Anche il Libro VII (') è dedicato ad Attalo. Nella lettera che serve d'in- 

 troduziono ad esso, il suo autore ne caratterizza la materia dicendo che « contiene 

 moltissimi teoremi nuovi relativi ai diametri delle coniche e alle figure descritte su 

 di essi », soggiunge che « essi manifestano la loro utilità in molti generi di problemi, 

 specialmente nei diorismi » e fa noto che so ne trovano molti esempi fra i problemi 

 limitati da diorismi da lui risolti nell'VIII Libro. 



Le proposizioni che compongono il libro stesso si distribuiscono naturalmente in 

 due classi; l'una formata da teoremi aventi per iscopo di assegnare delle espressioni 

 particolari per certe funzioni razionali di diametri e lati retti, l'altra da teoremi in 

 cui sono determinati i valori massimi o minimi che possono assumere queste funzioni. 

 Poiché — come dice Apollonio nella prefazione del Libro in esame — l'ultimo Libro 



(1) Gir. Teuqubm, Lcs deux propriett's fondamentales dei diamkres conjugués dans Us coniques 

 d'apre* ApoUonius {Nouv. Ann. de Malhcmaiiques, t. Ili, 18-44, p. 3'i5-350), ove ò adilitata la coincidenza 

 dello dimostrazioni del geometra Greco eoa altre fatte da Ubroonnb applicando la Geometria analilìca. 



