SAGGIO STORICO DI GINO LCRIA 429 



delle Coniche è un'appendice del penultimo, cosi è stata formulata la congettura (^) 

 che nel Libro Vili (perduto) fossero risolute delle questioni relative alla ricerca in 

 una conica di diametri coniugati soddisfacenti date condizioni ; in tal modo il Libro Vili 

 avrebbe dato la soluzione di quei problemi di cui il I suggeriva gli enunciati e il VII 

 insegnava le discussioni, e ciò concorderebbe coU'uso costante degli antichi geometri 

 di premettere il diorisma alla soluzione di un problema. — Riguardo alla forma è da 

 notare che Apollonio, aspirando sempre a fare su una delle coniche a centro dei ra- 

 gionamenti applicabili anche all'altra, è in certi casi costretto a far uso di dimostra- 

 zioni più lunghe di quelle che egli avrebbe potuto fare ove, seguendo l'esempio di 

 Archimede, avesse considerata l'ellisse come projezione di un circolo. 



Questo libro, come quasi tutti gli altri, si apre con un gruppo di proposizioni 

 (quelle che portano i numeri 1 , 2 e 3) destinate a fungere da lemmi, nelle quali si 

 apprendono delle espressioni importanti pel quadrato della distanza di un punto di 

 una conica dal vertice ; allo stesso ufficio è riserbata la seguente - che non riportiamo 

 perchè non ò suscettibile di enunciazione abbastanza semplice — mentre la 5 dà il para- 

 metro relativo a un diametro qualunciue di un% parabola in funzione del parametro 

 relativo all'asse. 



Per fare noto con maggiore concisione il resto del Libro VII indichiamo con 

 a e 6 gli assi di una conica, con a e h' due diametri coniugati qualunque. Potremo 



dire allora che le prop. 6-7 esprimono in un modo particolare il quoziente -^ , le 



9 •) 



fi (Ji~ 



8-9 i quozienti — ; 7-, e la 10 il quoziente -j-r, , mentre la 11 insegna un'espres- 



{a ±0)' ab 



sione di a'" + b'^ nel caso di un'iperbola e la 14 una analoga di a'^ — b'' nel caso di 

 un'ellisse, nelle due intermedie (prop. 12 e 13) troviamo poi il j^rmo de» celebri teo- 

 remi di Apollonio (nell'ellisse è costante la somma e nell'iperbola la differenza dei 

 quadrati di due diametri coniugati). Le citate prop. 6 e 7 possono intendersi come 



./ . «' A 

 esprimenti il rapporto di un diametro a al parametro corrispondente p 1 essendo— =jr2f 



onde iniziano la serie di proposizioni di cui ora ci occuperemo, nelle quali interviene 

 appunto il parametro relativo a un diametro qualunque a. Apollonio esprime suc- 

 cessivamente / (prop. 15), a"^-\-p"^ (prop. 19-20), e nota la costanza dia' + a'p 

 per l'ellisse (prop. 30) e di a'^—a'p' per l'iperbola (prop. 29), costanza che è corol- 

 lario immediato del primo teorema di Apollonio, dal momento che si ha, b^ — a p . 

 Nelle prop. 21-23 Apollonio dimostra che se 6 è l'asse trasverso e b' un diametro 

 non secante un'iperbola, dall'essere a ^ b segue a = b\ proposizione che comprende 

 in particolare una delle proprietà caratteristiche dell' iperbola equilatera; finalmente 

 la prop. 31 è il secondo dei teoremi di Apollonio (il parallelogrammo costruito su 

 due diametri coniugati qualunque è eguale al rettangolo costruito su gli assi). 



Passiamo ora ad esporre il contenuto delle proposizioni del Libro VII che fanno 

 parte dell'altra delle classi che abbiamo distinte. Dalle prop. 24-28 si rileva che nel- 



(1) Halley nell'esordio alla sua divinazione dell'ultimo hbro delle Coniche. 



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