434 IL PERIODO AUREO DELLA GEOMETRIA GRECA 



regole speciali basate sulla considerazione dei nu^^.iuc; o numeri fondamentaìi, in- 

 tendendo con tale nome il numero delle decine, delle centiuaia, ecc. clie entrano in 

 un numero composto di sole decine, o sole centinaia, ecc. ; queste regole sono corol- 

 lari dell'identità a.lO'xò.lO'^aii.lO'*'; esse non avrebbero ragione di fare parte 

 di un trattato di Aritmetica moderno, ma il lettore si accorgerà facilmente di quale 

 utilità dovevano essere per un popolo in cui i numeri venivano indicati colle lettere 

 dell'alfabeto. Quando si vuole applicare queste regole alla moltiplicazione di due nu- 

 meri qualunque, si decompone ciascuno di questi in una somma di multipli di potenze 

 di 10 e quindi si moltiplica ogni termine del moltiplicatore per tutti i termini del 

 moltiplicando. Le dimostrazioni date da Pappo di quanto è asserito non sono cbe sem- 

 plici verificazioni numeriche, ma nell'opera originale esse dovevano essere fatte in modo 

 simile a quello adoperato da Euclide nella parte aritmetica degli Elementi. Procedendo 

 nell'anzidetto modo, Apollonio riesce a elevare a quadrato il numero espresso dal verso : 



'Apri^'.Bog /.'/ehi /.patog ^l^/^v ìvvic/. aoùpai 



quando le lettere s'interpretano come numeri ; nel commento di Pappo si trova anche 

 un' applicazione analoga ad un altro verso, ma essa non si può attribuire al geometra 

 di Perga (0. 



16. Havvi finalmente un' altra opera aritmetica di Apollonio sulle quantità 

 irrazionali di cui i commentatori Greci ci tramandarono notizia e un manoscritto 

 Arabo ha conservate alcune traccio (2). Essa formava in certo modo una cojitinuazione 

 del X Libro degli Elementi di Euclide, ma si elevava tanto sul livello di questo che 

 Proclo la pose fra quelle cose che si escludono da una raccolta di elementi perchè vi 

 arrecherebbero una complicazione infinita. 



Mentre gli irrazionali euclidei recavano, secondo lo scoliasta ora citato, il nome di 

 ordinati (r;TayiJ.vjog), quelli di Apollonio si chiamano ììoìi ordinati («tk/to;). Ora, due 

 generalizzazioni naturalmente si presentano dalle ricerche di Euclide ; essendosi l'autore 

 degli Elementi occupato di binomi i cui termini sono irrazionali quadratici, per pro- 

 seguire nella direzione da lui indicata si possono considerare dei polinomi composti in 

 modo simile, o ampliare il campo dell'Aritmetica coli 'aggregarvi l'insieme degli irra- 

 zionali di ordine superiore. Quali delle due cose abbia fatto Apollonio, in altre pa- 

 role che cosa siano gli irrazionali non ordinati e quali proprietà vi abbia riconosciuto 

 il geometra di Perga, è una questione la cui soluzione è riserbata all'avvenire. 



17. Chiuderemo questa disamina dell'opera scientifica di Apollonio col far noto 

 avere egli composto uno scritto su le stazioni e le retrogradazioni delle sfelle, uti- 

 lizzato da Tolomeo nel XII Libro deli' Almagesto P), e che gli storici non sono 

 ancora concordi nell'ammettere che il nostro geometra sia da identificarsi con' quel- 

 l'Apollonio £ che gode rinomanza di avere coltivato con grande successo l'Astronomia W. 



(1) Per maggiori particolari si vegga la citata Memoria del Tannbrt: L'arithmétique lìes Grecs 

 dans Pafipus, p. 352-356. 



(2) WoKPCRE, Essai d' unt restiluiion de travaux perdut d' ApoHonius sur lei quantités irratio- 

 neltes d'aprìs les ìndicalions d'un manuscrii arabe (Comptes rendus, t. 36, 1853, p 298; e Mémoiret 

 Jirhentès à l'Académie des Sciences, t. 37, lSó3, p. 553-568. 



(3) Cfr. Dblambre, Histoire de l'Astronomie ancienne, t. I, p. 17 e t. II, p. 383. 



(4) Quest'identità d ammessa dal Tannery (L'arithmétique des Greci dans Pappus, p. 352). 



