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durcb passende Wahl der Coefficienten fiir alle Wertliedes.rzwi- 

 schen o und k in moglicbst nahe Ubereinstimmung mit den 

 Werthen einer beliebigen Function F(x) gebracbt werden. Diese 

 Bedingung fordert einen Minimumwerth fiir die Summe der Qua- 

 drate der Unterschiede beider Ausdriieke fiir alle x von o bis n. 

 Es muss also das Integral 



| \F{ar)— Xa k sinfccj Hx = Z 



o 



ein Minimum werden, wobei sammtliehe a als Veranderliclie zu 

 betrachten »ind. Dies liefert ein System von Bedingungsgleichun- 

 cjen von der Form: 



[F(x) — ^ a sin lex} sinkxdx == U, 



and daraus findet sich unter BerUeksiclitigung, da&s 

 I sin jfo? sinw.iv/.r* = 0. 



wenn k von m verscbieden, und dass 



sin kx dx = -$ 



der bekannte Fourier'scbe Coefficient : 



2 "" 



7T 



F(a?) sin tote'. 



Die zweiten Ablekungen von Z nach den einzelnen a siml 

 positiv. 



Bemerkenswertb ist nun bei dieser Ableitungsweise, dass 

 die Bedingung des kleinsten Wertbes von Z (fur welcbe Grosse 

 ich kurz den Ausdruck „Zwiscbenraum" zwisehen F(x) und Y 

 in dem gegebenen Intervall o bis n gebraucben will), schon bei 

 endlicher Gliederzabl, selbst bei ein em ein zi gen, zu deim 

 arelben bestimmten Integral ftibrt. Denn, wenn man verlangt 



&*-■?■ 



