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class sicli a k smkx a lie in mit kleinstem Zwischenraume an F\x) 

 annahert, so folgt fur a k derselbe Wertli wie oben, oder wie bei 

 unendlicher Gliederzahl. Aucb ist es gestattet, in der Reilie Y 7 

 deren Grlieder nacb ganzen Yielfacben von x fortschreiten, cinen 

 beliebigen Grliedercomplex wegzulassen, obne dass dies auf die 

 Wertli e der tibrigen Coefficient en einen Einfluss batte. 



Man siebt also, dass den Coefficienten der Fourier'schen 

 Reihe aucb bei endlicber Gliederzabl eine ganz bestimmte Be- 

 deutnng zukommt. Jedes Reihenglied erfiilH mit seinem Coef- 

 ficienten obne Rucksicht auf die tibrigen Glieder die Forderung 

 der grdsstmbglichen Annaherung an die gegebene Function. 



Man erkennt ferner leicht, das dasselbe Verfabren zu dem- 

 selben Ergebniss flibrt bei einer Entwicklung nacb den cos gan- 

 zer Vielfacber von x. Uberhaupt lasst sicb das Gesagte sofort 

 auf alle analogen Entwicklungen nacb Functionen anwenden, 

 welcbe die Eigenscbaft haben, dass 



~- - g 



f(kx)f(mx)dx = 0, und dass f'kx) dx 



einen bestimmten, endlichen Wertli hat. 



Die erorterte Betrachtungsweise gibt auf kiirzestem Wege 

 die Coefficienten fur die vervollstandigte und auf beliebige 

 Grenzen erweiterte Form der Fourier'schen Reihe. 



Es solle der Ausdruck : 



Una 

 A 



Y— ^ a k ^ n — -+- ^ h k c 



h=o k=o 



innerlialb des Intervalles von —J bis -+-A eine beliebige Func- 

 tion F\x) mit kleinstem Zwiscbenraum darsteilen, so muss 



\F(af)- V a h sin ~ — S b k cos ^ I dx = Z 



ein Minimum werden. In den durcb Differenziation fur alle a 

 und h gewonnenen, unabhangig 

 scbeinen Producte von der Form 



und h gewonnenen, unabhangigen Bedingungsgleichungen er- 



