24 I.E COPPIE DI ELEMENTI IMAGINAKI ECC. - 1)1 CORRADO SEGRE 



Ogni coppia di rette syliembc, reali od im<((jinarie, determina un sistema di 

 infinite rette, di cui ognuna contiene una sua cop^ria di punti e sfa in una sua 

 coppia di piani: vi è sempre una retta del sistema passante per un dato punto 

 giacente in un dato piano. La coppia di rette sghembe costituisce gli assi di 

 una determinata involuzione rigata, in cui due punti (o piani) coniugati qualunque 

 sono coniugati armonici rispetto alla coppia di punti (o piani) che la loro con- 

 giungente (o retta d'intersezione) determina eolla coppia degli assi. Ecc. 



25. Data una coppia qualunque di rette tgliembe, cioè un'involuzione rigata, si 

 considerino tre rette doppie qualunque di questa e la quadrica per cui esse sono gene- 

 ratrici di un sistema : è evidente che le generatrici dell'altro sistema saranno a coppie 

 coniugate in quell'involuzione, mentre quelle del 1" sistema saranno tutte rette doppie. 

 La coppia di rette sghembe assi dell'involuzione starà nel 2° sistema di generatrici 

 di quella quadrica: ciò è chiaro se la detta coppia è reale, e nel caso contrario ciò 

 si assumerà come definizione di coppia di generatrici imaginarie in un sistema di 

 generatrici di una quadrica rigata (definizione- giustificata dal fatto che ogni coppia di 

 punti di quella coppia di rette sghembe appartiene alla quadrica considerata). E si potrà 

 dire che ogni coppia di generatrici imaginarie dell'un sistema della quadrica rigata è ta- 

 gliata in una coppia di punti da ogni generatrice dell'altro sistema, ecc. 



"Viceversa ogni involuzione tra le generatrici di un sistema di una quadrica rigata 

 è contenuta in un'involuzione rigata determinata e determina quindi una coppia di 

 rette sghembe reali od imaginarie (v. Beitruge, n" 104). In tal modo lo studio delle 

 involuzioni rigate dello spazio e quello delle involuzioni tra generatrici di uno stesso 

 sistema di una quadrica rigata vengono ad essere strettamente collegati tra di loro. In 

 conseguenza dallo ricerche di Staudt su questi argomenti si potranno prendere le dimo- 

 strazioni di varie altre proposizioni sulle involuzioni rigate importanti nella teoria delle 

 rette imaginarie sghembe (*). Cos'i si potrà dimostrare che, date 4 rette che non siano ge- 

 neratrici dello stesso sistema di una quadrica, esiste sempre una determinata involuzione 

 rigata di cui esse sono rette doppie, cioè una determinata coppia di rette che le taglia tutte 

 [Beitruge, n" lOG). Cos'i ancora si avrà che se due coppie di rette imaginarie sghembe sono 

 assi di due involuzioni permutabili, il prodotto di queste sarà una terza involuzione rigata 

 avente per assi due rette reali, di cui ciascuna taglia entrambe le coppie imaginarie 

 nella stessa coppia di punti {Beitruge., n" 109). Ecc. ecc. 



Torino, febbraio 188G. 



(*) La defÌQiiioae delle rette ininginari,; di V spficie mediante un'involuzione ellittica di genera- 

 trici di una quadrica fu probabilmeufe pr>iferita dallo Staudt a quella da me scelta perchè si presta 

 immediatamente alla separazione delle due rette mediante il verso deirinvoluzione. Ma non avendo 

 da fare la separazioue, essa pare meno buona, perch"' sono infinite le quadriche passanti per una data 

 coppia di rette ed il fissarne una per definire questa coppia è un difetto di simmetria. Del resto anche 

 lo Staudt adopera largamente le involuzioni rigate per lo studio delle rette imaginarie di 2' specie; 

 nel quale poi è pure da notare che pare indispensabile la considerazione delle quadriche rigate. 



