DI CORRADO SEGRE 13 



Invero si cousideri quella tra le infinite proiettività nominate nella quale ad A cor- 

 risponde B ; essendo essa permutabile a tutte (n° 11), in essa ad A^ corrisponderà 

 B^ , ad A., corrisponderà 2?, , ecc. 



Se si osserva che le infinite proiettività considerate aventi una data involuzione 

 unita sono a due a due inverse l'una dell'altra, è chiaro che quella stessa proposi- 

 zione si potrà anche enunciare sotto la forma seguente, che dà un modo diretto di 

 costruire le proiettività permutabili ad una data e generalizza quindi la costruzione 

 vista dell'involuzione unita: 



Data ima proiettirità qualunque ÌJ, so. di un eìenirnto variahiìc A sono A' e A, 

 i corrispondenti in ^ e nella sua inversa e si costruisce l'elemento a tale che il 

 gruppo «AA'Aj sia proiettivo ad un gruppo fisso, A. ed a si corrisponderanno in 

 una proiettività determinata permutabile con ^ ; e cambiando il gruppo fisso si 

 ottengono così, se '^ non è involutoria, tutte le proiettività permutabili con ^ (*). 



\k. Consideriamo tra le proiettività aventi una data involuzione unita 3 quella % 

 in cui si corrispondono due elementi qualunque dati A, B. Fissiamo una coppia qua- 

 lunque (reale od imaginaria) di 3 e diciamo B^ il coniugato armonico di B rispetto 

 ad essa ed A^ il corrispondente di i?j in ÌJ : è facile vedere che A^ sarà il coniugato 

 armonico di A rispetto a quella stessa coppia di 3. Poiché, essendo per ipotesi AB 

 e -Bj^j due coppie di elementi corrispondenti in %, sarà {AA^, BB^) un'involuzione 

 armonica ad 3 ; ma l'involuzione avente per elementi doppi la coppia considerata è 

 pure armonica ad 3 e contiene pure, come quella, la coppia BB^ (in causa della 

 definizione di B^ : dunque queste due involuzioni coincidono ed J., sarà il coniugato 

 armonico di A rispetto alla coppia considerata di 3. Facendo variare questa coppia 

 di 3 senza però mutare A , B e quindi ^ , abbiamo : 



Bata un'involuzione qualunque, se di due elementi arbitrari A e B si prendono 

 i coniugati armonici A ^ A, A3 ... e BiB.^Bg... rispetto alle varie coppie (reali od 

 imaginarie) di quell'involuzione, si avranno due serie proiettive di elementi, sarà cioè: 



AB^B^B^. . .7\BA^A.^A^.. . 



Le serie A^A.,A^ ..., B^B.,B^ ..., ecc. ottenute con quelle costruzioni si possono 

 quindi definire proiettive all'involuzione data, poiché cosi vediamo che due serie pro- 

 iettive nel senso detto ad una stessa involuzione sono proiettive tra di loro (**). E 

 due involuzioni qualunque tra le cui coppie sia stabilita una corrispondenza si diranno 

 riferite proiettivamente tra di loro, o semplicemente proiettive, se. saranno riferite 

 proiettivamente due forme rispettivamente proiettive ad esse. 



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la. I teoremi precedenti sull'involuzione unita di una proiettività e in generale 

 sulle proiettività permutabili si possono dimostrare facilmente nel caso in cui la coppia 



(♦) V. Pasch, loc. cit. p. 134. 



(**) È inutile aggiungere che perchè quelle serie siano sempre complete, cioè comprendano tutta 

 la forma, è essenziale considerare anche, come aljbiamo fatto, le coppie imaginarie dell'involuzione. — 

 V., anche per questo n°, Wieneii, loc. cit. n.' 72 e 74. 



