12 LE COPPIE DI ELEMENTI IJIAGINARI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



nico eli A' rispetto ad Aa. Nella proiettività richiesta dovranno corrispondersi A^A, 

 AA\ aa'. Viceversa la proiettività determinata da queste tre coppie di elementi cor- 

 rispondenti ha per involuzione unita l'involuzione in cui sono coniugati (pel modo con 

 cui si è costruito A^ ) A ed a. ed anche i loro corrispondenti nella proiettività stessa 

 A' ed 5c', cioè la involuzione 3. 



Sono dunque infinite le proiettività aventi una data involuzione unita. 



1 \ . Abbiamo già fatto la ricerca delle involuzioni permutabili a proiettività (iiivo- 

 lutorie no) : occupiamoci ora più in generale di proiettività qualunque mutuamente 

 permutabili. Se due proiettività (non entrambe involutorie) sono permutabili è evidente 

 che esse avranno comune la coppia degli elementi uniti, poiché l'una di esse (non 

 involutoria) deve trasformare l'involuzione unita dell'altra nell'involuzione stessa, cioè 

 deve pure averla per involuzione unita. Orbene viceversa: due proiettività qualunque 

 aventi comune V involusione unita sono sempre permutahili. 



Siano in fatti ÌJ e U j due proiettività aventi comune l'involuzione unita 3. Di 

 un elemento qualunque A siano A il corrispondente in ^ e ^j il corrispondente in 

 ^j ; di A^ il corrispondente in % sia A^ e di A' il corrispondente in ^^ sia A'. 

 Allora in causa di 'ÌJ in cui si corrispondono AA, A^A^ sarà (n° 9) {A'A^. AA\) 

 un'involuzione armonica ad 3; e in causa di ^j in cui si corrispondono AA^, A A' 

 sarà {AA^ , AA ) un'involuzione armonica ad 3. Ma queste due involuzioni armoniche 

 ad 3 e aventi comune la coppia AA^ (che, essendosi scelto A ad arbitrio , non sarà la 

 coppia degli elementi doppi di 3) dovranno coincidere : dunque A' coinciderà con A ^ . 

 Ciò prova appunto ( n" 1 ) che delle due proiettività ÌJ , TJ, ciascuna è trasformata 

 in se stessa dall'altra, cioè che esse sono permutabili. 



Xl. Dal teorema precedente si possono dedurre varie proposizioni importanti. 

 Siano AA , BB' due coppie qualunque di elementi corrispondenti di una proiettività 

 ÌJ, in cui sia 3 l'involuzione unita: la proiettività avente la stessa involuzione unita 

 e determinata dalla coppia AB di elementi corrispondenti (n' 10) avrà pure, in 

 causa di quel teorema, AB' per elementi corrispondenti. Essa trasformerà dunque 3 

 (cioè la coppia di elementi uniti di %) , A, A rispettivamente in 3 (cioè nella coppia 

 stessa di elementi uniti), B, B' . Quindi possiamo dire (con un'estensione che si presenta 

 naturalmente della locuzione gruppi j^^oiettivi al caso di gruppi contenenti coppie 

 imaginarie) : in una proiettività qualunque il gruppo formato dalla coppia degli 

 elementi uniti e da due elementi corrispondenti qualunque rimane proiettivo ad un 

 gruppo fisso se si fanno variare questi elementi corrispondenti ('■''). 



1 3. Se nelle infinite proiettività ÌJj , TJ.,, ìJg ,... aventi una data involuzione unita, 

 di due elementi qualunque A, B si prendono i corrispondenti k^k.^k^...,'Q^'Bg'Q^..., sarà 



AA^A,A^ . . .aBB^B,B^.. . 



(*) Considerando l'involuzione {A B', B A'] ai'monica ad 3 (n° 9) si sarebbe trovato invece clie il 

 gi'uppo formato dalla coppia degli elementi uniti e da A, A' è proiettivo al gruppo formato dalla 

 stessa coppia e da B', B (non B, fi'). Questi due risultati non sono però contradditori appunta perchè 

 noi non consideriamo separatamente i due elementi uniti, ma la loro coppia. 



