Ili CORRADO SEGRE 11 



[•j rispetto a CA, C e il suo coniugato armonico y rispetto ad AB. L'involuzione 

 {Av. , Bfi, C y) cosi costruita trasforma poi i 3 gruppi armonici considerati nei seguenti 

 gruppi, i quali quindi saranno pure armonici : Ar/.[:i-^, B[i-/y., Cyry,^-;,-^ inoltre (o^^y) 

 sarà un altro ciclo della stessa proiettività ciclica. — Si trovano così immediatamente 

 le proprietà geometriche principali della cubica binaria. 



9. Sia "55 una proiettività qualunque, in cui si corrispondano gli elementi J. J.', 

 BB , CC\ DI)', . . . , e sia 3 la sua involuzione unita. Sarà facile, senza costruire 

 questa, ottenere tutte le involuzioni che le sono armonici! ;, cioè tutte le involuzioni 

 contenenti la cojjpia degli elementi uniti di U. In fatti consideriamo l'involuzione 

 {AB', B A') ; se s'indicano con Ce !>' due elementi coniugati qualunque di essa, saranno 

 pure coniugati I) e C, giacche in causa di 'TJ si ha AB CD A AB' CD', ossia 

 AB CD 7\ B'A'D'C {*). Ne segue che quell'involuzione trasforma ^^J (in cui si corri- 

 spondono A A', BB', CC, D D' ) in una proiettività in cui si corrispondono BB, 

 a! A, D'D,C'C, cioè nella inversa di ÌJ. Ma ^ e la sua inversa hanno evidentemente 

 la stessa involuzione unita ; dunque 3 è trasformata in se stessa dall'involuzione consi- 

 derata {AB', BA'), ossia è armonica a questa. 



Le involuzioni di questo tipo {AB', BA') sono infinite, ed in ognuna di esse una 

 coppia, p. e. AB', è arbitraria e la determina. Ma un'involuzione armonica ad 3 è indivi- 

 duata dandone inoltre una coppia (n" 5) : dunque le involuzioni di quel tipo costitui- 

 scono itt/tr le involuzioni armoniche ad 3. Giungiamo cosi al seguente risultato (*''). 



Le involusioni armoniche all' involuzione unita 3 della proiettività % sono tutte 

 quelle del tipo (AB', BA'), cioè tutte quelle che trasformano ÌJ nella sua inversa. 

 In altri termini la coppia degli elementi uniti di 1J appartiene ad ogni involuzione 

 del tipo (AB', BA') e solo a queste. — Tutte queste infinite involuzioni armoniche 

 ad 3 si possono anche con vantaggio chiamare le involuzioni armoniche a %. 



In particolare, date tre coppie di elementi qualunque .4^', BB , CC", vediamo 

 chele tre involuzioni {AB', BA), {BC, CB) {CA', AC') sono armoniche aduna 

 stessa involuzione (unita per la proiettività determinata da quelle coppie di clementi 

 corrispondenti), cioè hanno comune una coppia. 



■10. Utia proiettività è individuata dalla sua coppia di elementi uniti, cioè 

 dalV involuzione unita, e da due elementi corrispondenti (***). In fatti sia ^ l'invo- 

 luzione unita data e siano A, A' i due dati elementi corrispondenti; siano poi a e «' 

 i coniugati ài A e A' nell'involuzione 3 e si costruisca l'elemento A^ coniugato armo- 



(*) Questo breve ragionamento prova più in generale che : se per due proieitwità esiste una qua- 

 terna di elementi distinti AB A'B' tali che siano corrispondenti nell'una A e A', B e B', nell'altra 

 invece A e B', B e A', esisteranno infinite tali quaterne, sicché se di un elemento qualunque C sono 

 C e D' i corrispondenti risp. nelle due proiettività, il corrispondente di D' nell'inversa della 1'' ed il 

 corrispondente di C nell'inversa della 2" coincideranno in uno stesso elemento D. Due tali proiettività 

 si diranno armoniche: la loro relazione si può anche definire dicendo che l'una di esse è il prodotto 

 dell'altra e di un'involuzione fanaliticamente, dicendo che il loro invariante simultaneo bilineare 

 s'annulla). — Lo studio delle proiettività armoniche e dei fasci di proiettività formerà oggetto di una 

 mia Nota che verrà pubblicata nel voi. 100 del Journal fiir r. u. a. Mathematik. 



(**) Wiener, loc. cit. n" 59. 



{*'*) Loc. cit. n" 41. 



