10 LE COPPIE DI ELEMEXTI niAGIKAEI NELLA GEOMETKIA PROIETTIVA SINTETICA 



La involuzione 3 cosi costruita si dirà l'involuzione unita della proiettività 'U. 

 Se questa è un'involuzione, quella costruzione mostra che essa stessa sarà la propria 

 involuzione unita; ed in tal caso oltre ad essa sappiamo che vi sono infinite involu- 

 zioni permutabili con essa. 



Escludendo ancora il caso in cui 'T? sia un'involuzione (nel quale del resto le 

 osservazioni seguenti varranno ancora in causa dell'identità di T? con 3) , è chiaro che 

 se la involuzione unita 3 è iperbolica, i suoi elementi doppi (dovendo corrispondere a 

 loro stessi in Ì3 ) saranno gli elementi uniti di ÌJ ; e viceversa se ^ ha due elementi 

 uniti, questi saranno doppi per un'involuzione permutabile a "P , cioè appunto per 3. 

 Quindi se 5 fosse parabolica, Ì3 avrebbe un solo elemento unito coincidente coll'ele- 

 mento doppio di 3: e viceversa se ^ ha un solo elemento unito 3 è parabolica con 

 questo per elemento doppio. Finalmente accadrà simultaneamente che '^ sia priva di 

 elementi uniti e che 3 sia ellittica. 



8. Ciò posto: coppia di elementi uniti di una proiettività qualunque è la coppia 

 degli elementi doppi, reali (e distinti o coincidenti) od imaginari della sua involu- 

 zione unita. — Con ciò esprimiamo le ultime cose dette, se la proiettività ha elementi 

 uniti nel senso finora usato (cioè, come diremo d'or innanzi, elementi uniti reali), e 

 definiamo invece, nel caso che non ne abbia, che cosa si dovrà intendere con elementi 

 imiti imaginari (nient'altro cioè, in sostanza, che l'involuzione unita). 



L'involuzione unita ha molta importanza nello studio delle proiettività (*). Cosi, 

 siccome la sua definizione serve a costrurla linearmente quando la proiettività è data 

 mediante tre coppie di elementi corrispondenti, e d'altra parte essa è iperbolica, para- 

 bolica od ellittica secondo che la proiettività ha elementi uniti reali e distinti, o 

 coincidenti, od imaginari, si potrà con sole costruzioni lineari giudicare quale di questi 

 tre casi presenta la proiettività (**). 



Abbiansi tre elementi qualunque A, B, C e si consideri la proiettività ciclica di 

 ^ì" grado avente per un ciclo [AB C). Nella sua involuzione unita saranno coniugati 

 A ed il suo coniugato armonico a rispetto a B C , B e il suo coniugato armonico 



(*) Il sig. Wiener nell'opuscolo citato riconobbe prima di me l'importanza della considerazione 

 dell'involuzione unita di una proiettività e ne fece con altre quasi tutte le applicazioni dei n' seguenti 

 fino al 14. Però il suo metodo è diverso dal mio e gli dà una dimostrazione dell'esistenza di quell'in- 

 voluzione notevolmente più complicata che la mia. (V. loc. cit. §§ 7 e seg.). 



Simbolicamente l'involuzione unita 5 di una proiettività ^ non involutoria è definita dalla rela- 

 zione S'P^ÌJS. 



Se 15 è il prodotto 3, 5j di due involuzioni 5,, 3,, allora l'involuzione 3 armonica a queste due 

 trasformandole risp. in loro .stesse, trasformerà anche il loro prodotto "9 in so stesso, vale a dire sarà 

 appunto l'involuzione unita di ì). Od operando sui simboli, poichì per ipotesi 33, = 3,5, 53j^3j3, 

 sarà 3^5=33,32 = 3, 33, = 5,323 = *P5. — Questo teorema fornisce una costruzione lineare dell'invo- 

 luzione armonica a due date. La dimostrazione esposta non varrebbe più quando ^ fosse essa stessa 

 un'involuzione, cioè quando 3,, 3, fossero armoniche; ma appunto in tal caso fu già dimostrato al 

 n° 6 che il prodotto di quiste è l'involuzione armonica ad entrambe. — Veggasi un'altra dimostra- 

 zione in Wiener, loc. cit. n" 6i. 



{**) Trattisi di una punteggiata, su cui una proiettività "P abbia per punti limiti J e 1', ed al punto 

 medio di questi faccia corrispondere 0'. Allora sarà «0 una coppia dell'involuzione unita e gli 

 elementi l'O' a quelli rispettivamente corrispondenti in ^ formeranno un'altra coppia. Quindi vi saranno 

 o no punti uniti reali secondo che (quelle due coppie non si separano o si separano cioè) sta fuori o 

 dentro al segmento finito 1' 0' ; e gli elementi uniti stessi saranno i punti doppi dell'involuzione avente 

 por punto centrale ed 1' 0' per punti coniugati : proposizioni note, che si sogliono stabilire con calcoli. 



