DI COERADO SEGKE 



Coppia di elementi uniti di una proiettività. 

 Teoremi diversi sulle proiettività. 



7. Consideriamo una proiettività qualunque 15, la quale non sia involutoria, e 

 proponiamoci di cercare se vi è una involuzione permutabile ad essa. A tal fine indi- 

 chiamo anzitutto con A, u. due elementi qualunque, dei quali siano risp. A , v! i corri- 

 spondenti in % ed ^, , «, i corrispondenti nella proiettività inversa di ÌJ ; sarà: 



A'jA^a^l\Arj.Aa7\AaAlà^ 

 e quindi 



(1) , A(j.A^A!l\Aay.^<J . 



Se ora supponiamo che per a si prenda il coniugato di A in un'involuzione 3 

 permutabile a "8 , dovranno essere coniugati in 3 anche A'a ed A oc,, e quindi : 



(2) Aua^ry'Àry.AA^A' ; 



sicché confrontando colla (1): 



(3) AaA^A'ÀxAA^A' , 



cioè e/, sarà il coniugato armonico di A rispetto ad A^ e A'. Dunque non vi può 

 essere che una sola involuzione 5 permutabile a 'JJ, poiché vediamo che essa viene 

 costruita mediante ^ in un modo ben determinato. 



Viceversa se nella (1) y. rappresenta il coniugato armonico di A rispetto ad 

 A' eA^, avrà luogo la (3), che colla (1) dà la (2). Ma questa prova l'esistenza di 

 un'involuzione contenente le coppie Ay., A^y.^, A'y.', la quale per conseguenza muta 

 la proiettività TJ in cui si corrispondono per ipotesi A^A, AA', a^cc, xx in una pro- 

 iettività in cui si corrispondono «r, a , ««', A^A, AA', cioè nella stessa TJ , vale a 

 dire è permutabile a 1J. Dunque : 



Se data una proiettività qualunque ^ in una forma di P specie si prende di 

 ciascun elemento il coniugato armonico rispetto ai due elementi che gli corrispondono 

 in % e nella sua inversa, esso gli sarà coniugato in un'involuzione 3 ben deter- 

 minata (*) ,• se ^ non è involutoria , ^ è la sola involuzione che sia permutabile 

 con 1J , cioè trasformata in se sfessa da ^ (**). 



(') Se *p ha elerueati uniti M, N, distinti o coincidenti, questa proposizione si può dimostrare per 

 una via affatto diversa, notando che allora, per un teorema noto sulle proiettività aventi elementi 

 uniti (che al n" 9 verrà esteso a proiettività qualunque), MN, AA , A, A' saranno tre coppie di un'in- 

 voluzione, sicché A ed il suo coniugato armonico a rispetto ad ^4, A' saranno coniugati nell'involuzione 

 3 avente M, N per elementi doppi. So questi coincidono, quest'involuzione 3 diventa parabolica, e allora 

 vale ancora questa dimostrazione, mentre cesserebbe di valere quella sopra esposta, la quale supponeva 

 essenzialmente che 3 non fosse parabolica. 



(") Fatta eccezione, nel caso in cui "P ha due elementi uniti distinti, per le involuzioni parabo- 

 liche aventi risp. in questi gli elementi singolari. 



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