8 LE COPPIE DI ELEMENTI IMAGINARI NELLA GEOMETUIA PROIETTIVA SINTETICA 



5. Si sa che due involuzioni distinte 3, 3^, le quali non siano entrambe iper- 

 boliclie, hanno una determinata coppia reale comune (*): d'altronde esse non possono 

 certo in tal caso aver comune una coppia imagiuaria (n" 4). Se poi 3 , 3, sono entrambe 

 iperboliche, una coppia ad esse comune sarà coppia di elementi doppi dell'involuzione 

 contenente le coppie di elementi doppi di 3, 3j ; sicché anche allora vi è una sola 

 coppia comune, e questa sarà imaginaria o reale secondo che quelle coppie di elementi 

 doppi di 3,3, si separano o no. Dunque: due involuzioni distinte qualunque hanno 

 sempre comune una sola coppia, reale od im<i,ginaria; ossia vi è sempre una 

 ed una sola involuzione (o coppia di rlcmoiti) armonica a due involuzioni (o coppie) 

 distinte date. 



6. Siano in particolare 3, 3j due involuzioni armoniche: abbiamo già notato 

 (n" 3) che, scelto ad arbitrio un elemento A della forma, quelle involuzioni si pos- 

 sono determinare con coppie (reali) di elementi coniugati nel seguente modo: 



3 {AB, CD) , 



3, {AC, DB) . 



Allora l'involuzione 3., determinata dalle coppie 



3, {AD, BC) 



sarà evidentemente l'unica involuzione armonica a quelle due. Scelti ad arbitrio 4 ele- 

 menti AB CD della forma è chiaro che sempre le 3 involuzioni 3 {AB, CD), 

 3, {A C, DB) , 3., {AD , B C) da essi determinate sono mutuamente permutabili e 

 che ciascuna di esse è il prodotto delle altre due. Ma noi vediamo ora che viceversa 

 data una terna 3, 3, , 3.> di involuzioni (o coppie) mutuamente armoniche, essa si può 

 ottenere da infinite quaterne di elementi raggruppati in coppie in quella maniera: 

 vale a dire, scelto ad arbitrio un elemento A della forma e determinandone i coniugati 

 B, C, D risp. in 3, 3^,3^, saranno CD , DB , B C ancora coppie risp. di 3, 3, , 3^ • — Si 

 ottengono così brevemente le principali proprietà di un fascio sizigetico di forme 

 binarie biquadratiche (**■). 



(*) Ciò si prova assai facilmente se una sola delle 3,3, è ellittica; ma se enlrambe sono ellittiche 

 si ricorreva finora (se non erro) per dimostrarlo alla rappresentazione su una conica, od alla teoria 

 metrica. Invece si può darne anche in tal caso una dimostrazione la quale non faccia uso che delle pro- 

 posizioni grafiche più elementari illative alle forme proiettive di l" specie (V. pag. 95 delle Lezioni 

 citate del prof. Sannia). 



(**) Nel calcolo coi simboli rappresentanti le proiettività ed i loro prodotti (calcolo che permette 

 di dare ai ragionamenti su quelle una forma più concisa) la proprietà che caratterizzi l'involuzione 

 tra le proiettività è che il suo quadrato è l'identità, ossia ). Consideriamo due involuzioni permu- 

 tabili 3, 3, e diciamone 3j il prodotto; sarà: 



Me sOj^ue: 



.^2 =; (33,) (j, 3,1 =3 j = I ; 



3 3.^=3 (3 S,) = 3, , 3,3=13,3)3=3,; 



3,3,= 3,(3,3) = 3 , 3,5, = (3 3,)5,=S ; 



cioè 3j sarà un'involuzione ed inoltre sarà permutabile con 3, dando per prodotto 3,, e permutabile 

 con 3,, dando per prodotto 3. Si ritrovano così i ri.sultati del n" 6. - 11 sig. Wiener nel lavoro 

 citato (n° 55) definisce in sostanza due involuzioni armoniche appunto quando il loro prodotto è pure 

 un'involuzione; mentre dimostra (ai n' 57, 58} quella proprietà di due involuzioni armoniche che io 

 invece ho scelta come definizione. 



