DI CORRADO SEGRE / 



Ma introdotta così questa nuova specie di coppie d'elementi bisogna, per poterne 

 far uso, definire le relazioni che esse possono avere tra di loro e colle coppie reali. 

 Tali definizioni converrà, siano fatte in modo che esprimario proprietà vere anche se 

 le coppie considerate sono tutte reali. 



3. La prima relazione tra elementi che si suol considerare nella geometria di 

 posizione s'incontra nei gruppi armonici. Consideriamo due coppie reali armoniche AB, 

 CD ed esprimiamo la loro relazione sostituendo ad esse le involuzioni clie le hanno 

 rispettivamente per coppie di elementi doppi (o, come diremo più brevemente, relative 

 ad esse) e che indicheremo risp. con AB e CD. E chiaro che quella relazione consiste 

 in ciò che queste due involuzioni sono permutabili, poiché l'involuzione AB, ad esempio, 

 trasforma C e D risp. in D e C, e quindi l'involuzione CD è trasformata in se stessa 

 dalla AB. Viceversa se due involuzioni non ellittiche distinte sono permutabili, le coppie 

 dei loro elementi doppi sono armoniche. — Ciò premesso: 



Due coppie distinte ([ualunquc diconsi armoniche se le loro rispettive involuzioni 

 sono perììmtaiili. 



Questo enunciato, che fu dimostrato se le due coppie sono entrambe reali, servirà 

 per definizione nel caso contrario. Due involuzioni distinte permutabili si diranno anche 

 armoniche, come le relative coppie. 



Di due coppie armoniche una almeno dev'essere reale: cioè due involuzioni armo- 

 niche 3, 3, non possono essere entrambe ellittiche. In fatti se ad un elemento qualunque 

 A sono coniugati ^1' in 3 e ^1, in 3| , poiché 3 e 3^ sono permutabili sarà ad A^ coniu- 

 gato in 3| lo stesso elemento A\ che ad A^ è coniugato in 3; e le due involuzioni 

 3 e3| saranno determinate risp. dalle coppie di elementi coniugati J_J.', A^A\eAA^ , A'A\. 

 Ora dei tre modi di dividere in coppie 4 elementi uno solo conduce a coppie che 

 si separano, cioè a coppie di elementi coniugati in un'involuzione ellittica. 



4. Se due coppie reali sono armoniche, ciascuna è una coppia di elementi coniugati 

 nell'involuzione relativa all'altra. Se una coppia reale ed una coppia imaginaria sono 

 armoniche, la coppia reale è una coppia di elementi coniugati nell'involuzione ellittica 

 relativa alla coppia imaginaria, giacché essa è trasformata in se stessa da quest'invo- 

 luzione ellittica. Anche gl'inversi sono evidenti. Si vede dunque che è una proprietà 

 caratteristica delle coppie (reali) di elementi coniugati in una involuzione di qualunque 

 specie quella di essere armoniche alla coppia di elementi doppi di questa; ciò conduce alla 

 seguente definizione di coppiia, imaginaria di elementi coniugati di un'involuzione : 



Dicesi che una eoppia imaginaria qualunque appartiene ad un'involuzione, 

 ovvero è una coppia di elementi coniugati in questa, quando essa è armonica alla 

 coppia degli elementi doppi dell' involuzione (cioè quando la relativa involuzione 

 ellittica è permutabile con questa). 



E da ciò che si è visto alla fine del n" precedente segue che: Un'involuzione 

 ellittica (o parabolica) contiene soltanto coppie reali; un'involuzione iperbolica con- 

 tiene invece infinite coppie imaginarie (le quali sono le coppie di elementi doppi 

 delle involuzioni ellittiche contenenti la coppia degli elementi doppi dell'involuzione 

 iperbolica). 



