LE COPPIE IH ELEllEN'II IJIAlilNAKI NELLA GEOJIETKIA PROIETTIVA SINTETICA 



Coppie armoniche. — Involuzioni. 



\. È nota dalla teoria generale delle operazioni ed in particolare delle sostitu- 

 zioni una proposizione che si può enunciare sotto la forma seguente: 



Se due corrisiiondenze o trasformazioni univoche ^, %^ in varietà qualunque 

 sono tali che Vuna di esse U sia, trasformata in se stessa dall'altra T?|. la rela- 

 zione sarà reciproca, cioè anche ^, .sverà trasformata in se stessa da %. In tal 

 caso il prodotto di % e ì?^ è- commutativo , vale a dire la trasformazione che si 

 ottiene applicando prima ÌJ e poi ^j è la stessa che si otterrebbe applicando prima 

 ^j e poi % ; viceversa , se questo accade , ciascuna delle due trasformazioni ^, 'U, 

 è trasformata in se sfessa dalV altra. — Due tali trasformazioni si dicono perciò 

 permutabili. 



La dimostrazione di (]uesta proposizione è semplicissima. Se un elemento qua- 

 lunque A è trasformato da 1J in A , e se A, A' sono trasformati da ^^ rispettivamente 

 in A , A' , allora dall'ipotesi che ÌJ sia trasformata in se stessa da Ì5, segue che 

 anche A^ , A\ saranno corrispondenti in ^. Quindi una coppia qualunque AA^ di ele- 

 menti corrispondenti in ^j sarà trasformata da ^ in A'A'^ , ossia in un'altra tale coppia, 

 Tale a dire Ì5. sarà trasformata in se stessa da 1J. E la trasformazione risultante dall'ese- 

 guire successivamente 'TJ e ^^ , cioè il prodotto %%^, farà coi'rispondere ad un elemento 

 qualunque A lo stesso elemento A\ che gli fa corrispondere il prodotto %^. — L'in- 

 verso è pure evidente (*). 



2. In una forma geometrica fondamentale di 1' specie un'involuzione ellittica verrà 

 anche chiamata coppia di elementi imaginari, od anche coppia di elementi doppi 

 {imaginari) della stessa involuzione (il che è lecito perchè non avendo l'involuzione 

 ellittica elementi doppi nel senso primitivo della parola, si può dare a questa un signi- 

 ficato nuovo; l'aggettivo imaginari impedirà di confondere i due significati). — Tali 

 denominazioni s'introducono per togliere negli enunciati di teoremi relativi ad involuzioni 

 le distinzioni di casi prodotte dal fatto che nella considerazione delle involuzioni iperbo- 

 liche o paraboliche queste si possono sostituire colle coppie dei loro elementi doppi {reali). 

 mentre ciò non si sarebbe potuto f?re per lo involuzioni ellittiche se non si dava per 

 esse una nuova definizione di coppie d'elementi doppi {imaginari). 



(*) Metto qui sul principio questo toorem.'» appai'toiieutn alla teoria delle trasformazioni percliA 

 esso ci sarà utile nel seguito, ed anche per notare elio quantunque esso occorra spesso nelle ricerche 

 geometriche si suole evitare senza j'agiuno di basarsi su esso, rifacendone invece in ogni caso parti- 

 colare la dimostrazione. Lo s'incontra ad esempio nelle ricerche sulle omografìe che trasformano in 

 se stessa una data quadrica, od un dato complesso lineare, sulle quadriche polari reciproche di se 

 stesse rispetto ad altre quadriche od a complessi lineari, ecc., ecc. — Nella teoria delle sostituzioni 

 lo si dimostra collo operazioni sui simboli così. L'ipotesi che ì) sia trasformata in se stessa da <P, è 

 espressa da: «P,-' W, =*»; di qui moltiplicando a sinistra per "P, segue: <PÌ>, = 'P,'P, cioè la commu- 

 tatività del prodotto. Viceversa da quest'ultima uguaglianza moltiplicando a sinistra per *)),-' o per 

 *))-' seguono le uguaglianze: <)),-"p<p,=V, 1>~' T>,'P='P, le quali esprimono che ciascuna delle 'P.'P, è 

 trasformata in so stessa dall'altra. 



