DI COKRADO SEGUE 5 



quantità complesse coniugate mediante un segno. Quella separazione e la considerazione 

 continua dei verii nelle forme clie essa richiede sono causa della notevole lunghezza 

 della teoria: pure lo Staudt dava ad essa tanta importanza che, non conoscendo 

 ancora il modo di fare la separazione quando scrisse la Gromctrie der Lage. non fece 

 in questa che un breve cenno degli elementi imaginari. 



Però se si osserva che iu tutte le proposizioni di geometria proiettiva elementare 

 quegli elementi non compaiono quasi mai separatamente, ma bensì a coppie di elementi 

 imaginari coniugati, sorge spontaneo il pensiero che definendo solo queste coppie come 

 involuzioni ellittiche e non esigendo la separazione si possano ottenere ancora quasi tutti 

 i vantaggi di generalità raggiuugendo nello stesso tempo assai maggior semplicità. E 

 ciò appunto accade, come io qui mi propongo di mostrare: e si ottiene una teoria 

 rigorosa e semplicissima delle coppie di elementi imaginari , tale che si può esporre 

 in qualsiasi corso di geometria proiettiva sintetica (*). La base del mio metodo con- 

 siste nella considerazione della trasformazione di proiettività mediante altre proiettività, 

 considerazione assai feconda e di cui a mio avviso non fu ancor riconosciuta tutta 

 l'utilità. Essa mi permise in particolare di dimostrare certe proposizioni sulle proiet- 

 tività e sulle involuzioni nelle forme di 1" specie col puro ragionamento su queste 

 forme, mentre finora esse non si erano dimostrate che col calcolo o con costruzioni 

 sulle coniche (**). Introdotta anche nella teoria di Staudt essa potrebbe semplificarla 

 in alcuni punti. 



Ripeterò ancora del resto che il mio lavoro, occupandosi soltanto delle coppie di 

 elementi imaginari coniugati, non ha in alcun modo lo scopo di sostituire l'ammirabile 

 opera di Staudt, neppure in parte. E se nel metodo che userò parmi vi sia qualche 

 novità, lo stesso non dirò per i risultati qui esposti, i quali anzi sono tutti noti. Esposte 

 le proposizioni grafiche principali relative alle coppie di elementi imaginari nelle forme 

 fondamentali di 1" specie, ne ho fatto varie applicazioni, ad esempio alla teoria metrica 

 delle coppie stesse, alle coniche ed in particolare all'esagrammo di Pascal, al teorema 

 di Cakkot, a quello di Sturm, ecc., per mostrare che la trattazione che propongo si 

 può usare in tutto un corso di geometria proiettiva e non soltanto nella teoria della 

 proiettività nelle forme di P specie. 



{•) Fu appunto pel corso di Geometria proiettiva che ero iac:iricato di fare quest'anno nella Uni- 

 versità di Torino che imaginai questo metodo. Il chiar. prof. A. Sannia introduce pure questa teoria 

 nelle Lezioni di Geomelria proiettiva che egli sta publicando (Napoli, Pellerano) : di ciò e della cor- 

 rispondenza che intorno ad essa abbiamo avuto e che non mi fu certo inutile nel pensare questo lavoro 

 gli faccio qui i miei ringraziamenti. Appunto grazie alla pubblicazione di quel trattato posso qui rispar- 

 miarmi di dare alla mia esposizione un carattere affatto elementare, posso eioi"' omettere di entrare in 

 dettagli troppo minuti, e permettermi invece alcune considerazioni e notazioni che forse non si addi- 

 rebbero ad un corso di lezioni. 



(**) Debbo fare eccezione per la Rein geometrische Theorie der Darslellung binàrer Formen durch 

 Punhtyruppin auf der Geraden del sig. H. Wiener (Darmstadt, 1885), opuscolo che venni a conoscere 

 solo dopo scritto il presente lavoro, e che ha vari punti di contatto colla prima parte di questo, come 

 avrò cura di rilevare man mano che quelli si presenteranno. 



Intorno alla teoria geometrica degli elementi imaginari non ho citato altri lavori che l'opera di 

 Staudt, benché parecchi ve ne siano (come quelli di August, Klein, Lìjroth, ecc.) che a quella teoria 

 si riferiscono; e ciò perche nessuno, ch'io sappia, ha relazioni intime col mio scopo. 



