4 I.E COPPIE DI ELEMENTI IMAGINARI KELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



al modo di Poncelet e Chasles dandone una rappresentazione reale metrica, introdu- 

 cendo ad esempio per definire una coppia di punti imaginari coniugati il loro punto 

 medio ed il rettangolo delle loro distanze da un'origine fissa della loro retta; ma è 

 chiaro che questo metodo, il quale se usato con rigore è buono per le relazioni me- 

 triche, non è più tale per le teorie grafiche della geometria proiettiva (*). 



La ragione per cui la teoria di Staudt degli elementi imaginari non fu ancora 

 introdotta nell'insegnamento della geometria proiettiva consiste probabilmente nella sua 

 complicazione, la quale però in gran parte, bisogna ammetterlo col suo autore, è nella 

 natura della cosa (**). Questa complicazione è prodotta dalla separazione di due elementi 

 imaginari coniugati di una forma di V specie, che Staudt riuscì a fare aggiungendo 

 ad un'involuzione ellittica che definirebbe la coppia di elementi i due versi della forma 

 per dare rispettivamente i due elementi : idea bellissima e assai semplice nello stesso 

 tempo, la quale corrisponde mirabilmente alla distinzione che si fa nell'analisi di due 



evidentemente in sé qualche cosa di assurdo, e nello stesso tempo inirodnce g\i elemcnliimar/inari come 

 una locuzione che non sta per significare alcun ente geometrico. Essa rassomiglia alla seguente definizione 

 che alcuni danno di una coppia di punti imaginari coniugati di una rotta: la coppia dei punti d'inter- 

 sezione di questa con un circolo che non la incontri. 



Ma non così faceva Staudt. Chiesti definisca [Bdtrage, u" 1 16) un elemento imaginario (di 1* specie) 

 come un'involuzione ellittica su una forma fondamentale di 1" specie insieme con uno dei due versi 

 della forma ; e si badi bene, è l'involuzione stessa (con quel verso) che egli chiama elemento imagi- 

 nario e non già un suo elemento doppio, poiché per ipotesi essa non ha elementi doppi. Quindi l'ele- 

 mento imaginario costituisce secondo Staudt un vero ente geometrico {reale, benché non sia della 

 stessa specie di enti che l'elemento reale omonimo), intorno a cui è lecito ragionare e che si può 

 quindi prendere come oggetto di studio. 



(*) Né quel metodo viene in generale usato con perfetto rigore. Cosi lo Chasles {Geometrie supé- 

 rieure, 2» ed., p. 55) dice che se il rettangolo suddetto supera il quadrato della distanza dell'origine fissa 

 dal punto medio dato «... les deus points cherchés u'existent plus; on dit alors qu'ils sont imagi- 

 naires ». Ma così resta definito solo il significato della proposizione « i due punti sono imaginari » e 

 non viene definita l'espressione « punti imaginari » ; quindi non è logico introdurre questi punti, 

 come si fa poi, nei ragionamenti e nei calcoli senza altre convenzioni. 



Mi sia permesso riportare a questo proposito un altro passo della prefazione citata dello Staudt. 

 « Nella geometria analitica si chiama un punto imaginario se le sue coordinate non sono tutte reali, 

 « e ciò pare assai semplice. Ma così non si fa che trasportare il linguaggio dell'algebra alla geometria, 

 e non si dimostra affatto che un punto imaginario sia, similmente ad un punto reale, qualche cosa 

 « d'indipendente dal sistema delle coordinate. Dove è, si domanderà ognuno, il punto imaginario, se 

 « si fa astrazione dal sistema delle coordinate? Quindi in tal modo la geometria si privava finora, 

 « per quanto riguardava gli elementi imaginai-i, della intuizione che pel resto in lei si loda ed anche, 

 ■I a ragione, si pretende ». 



Aggiungerò finalmente che osservazioni analoghe a quelle che ho fatto riguardo ai modi con cui 

 ordinariamente .s'introducono gli elementi imaginari valgono per gli elementi all'infinito punti, rette 

 e piano). 11 solo modo rigoroso d'introdurre ad esempio i punii all'infinito come enti geometrici, sì 

 da poterne far uso nei ragionamenti, è di definirli non già come punti d'intersezione di rette parallele, 

 cioè di rette che non hanno punti d'intersezione (come fanno in sostanza quasi tutti gli autori), ma 

 bensì come sinonimo di diresioni, oppure, se si vuole, di stelle di rette parallele. La considerazione che 

 si suol usare del fatto che quando due rette di un piano tendono a diventar parallele il loro punto 

 d'intersezione s'allontana indefinitamente non può servire che per giustificare la scella della locuzione 

 pvnto all'infinito, ma non per definirla, se si vuole, come si deve volere (lo ripeterò ancora', che essa 

 significhi un ente geometrico. Del resto si può vedere con quanta cura vada fatta l'introduzione degli 

 elementi all'infinito (argomento in cui persino lo Staudt, scrittore accuratissimo, lascia qualche cosa 

 a desiderare) nelle importanti Vorlesungen ùber neuere Geometrie del Pasch. . 



(**) c( È nella natura della cosa che la teoria degli elementi imaginari, da cui il campo della geo- 

 « metria viene notevolmente esteso ed in pari tempo lo sguardo generale sui teoremi viene facilitato, 

 " esiga una certa minutezza nella trattazione. Persino nella proposizione che una retta è determinata 

 da dup punti vi sono già sei casi da considerare n. (Staudt, loc. cit.). 



