DI CORRADO SEGRE 23 



che è appunto il teorema di Carnot.- La dimostrazione prova pure che questa rela- 

 zione (2) è condizione non solo necessaria ma anche sufficiente perchè le tre coppie 

 A^A, , jB^IB.,, C^C, appartengano ad una conica (*). 



Similmente mediante l'ultima relazione del n" 21 si troverebbe il teorema duale 

 nel i^iano a quello di Carnot (ed i due teoremi corrispondenti sui coni quadrici duali 

 di quelli nello spazio). — Questi due teoremi permettono poi di dedurre come casi 

 particolari tutte le principali relazioni rnetriclie riguardanti le coniche, come quelle 

 relative ai diametri coniugati, agli assi, agli asintoti, ecc., senza escludere né i punti 

 (e le tangenti) imaginari, ne le coniche imaginarie. 



Coppie di rette imaginarie sghembe. 



24. Neir applicare la considerazione delle coppie di elementi imaginari alle forme 

 geometriche dello spazio ordinario, alle proiettività di forme di 2" e 3" specie, alle 

 quadriche (rigate o no) si potrà seguire il metodo di cui abbiamo posto i fondamenti 

 e non s'incontreranno vere difficoltà, : entrare in altri dettagli su ciò ci pare inutile e 

 ci farebbe d'altronde allontanare dallo scopo di questo lavoro (**). Solo su un punto 

 vogliamo ancora fermarci brevemente, cioè intorno alle coppie di rette ■imaginarie di 

 2" specie (chiamando di V specie le coppie di rette imaginarie da noi finora consi- 

 derate, le quali passano per un punto reale e stanno in un piano reale). 



Nello spazio ordinario vi sono, com'è noto, due specie di proiettività involiitorie, 

 cioè le involuzioni omologiche e le involuzioni rigate. Si dimostra facilmente (***) che 

 un'involuzione rigata o non ha alcun punto o piano doppio, oppure ha per punti e 

 piani doppi i punti e i piani di due rette sghembe (assi): nel 1" caso l'involuzione si 

 dirà ellittica, nel 2" iperbolica. In ogni caso le congiungenti di punti coniugati nell'invo- 

 luzione e le intersezioni di piani coniugati formano uno stesso sistema costituito dalle rette 

 doppie dell'involuzione : ciascuna di queste è sostegno di un'involuzione di punti (o di 

 piani) coniugati nell'involuzione rigata, involuzione che è ellittica od iperbolica con questa 

 ed ha per punti doppi (o piani doppi) nel 2° caso due punti (o piani) degli assi. 



Ciò premesso, diremo coppia di rette imaginarie sgliemhe o di 2" specie un'in- 

 voluzione rigata ellittica, e diremo anche cbe essa costituisce la coppia dei proprii 

 assi. Chiamando poi coppia di punti o piani (imaginari) di quella coppia di rette la 

 coppia dei punti o piani doppi di ogni involuzione di punti o piani contenuta nell'involu- 

 zione rigata ed avente per sostegno una retta doppia di questa, si avrà in generale : 



(») Quindi la (Ij dà aiia dimostrazione metrica ilei fatto che i punti D' C , C" A'\ A'" C" d'inter- 

 sezione dei lati non corrispondr-uti di due triangoli omologici stanno su una conica, e viceversa ; vale 

 a dire del teorema di Pascal e del suo inverso. 



(•*) Ad esempio si potrà definire com3 coppia di punti imaginari di una quadrica la coppia dei punti 

 doppi di un'involuzione ellittica di punti coniugati ris|)etto alla quadrica. E si giungerà allora natu- 

 ralmente a considerare su ogni quadrica non rigata infinite coppie di ratte imaginarie di I» specie, sì 

 che per ogni punto della quadrica passa una coppia posta nel rispettivo piano tangente. In fatti l'in- 

 voluzione ellittica delle tangenti coniugate in un punto qualunque della quadrica è tagliata da ogni 

 piano secondo un'involuzione ellittica di punti coniugati rispetto a questa; vale a dire la coppia di 

 rette doppio imaginarie di quell'involuzione di tangenti ha tutte le sue coppie di punti imaginari sulla 

 quadrica, e conver^i'à perciò dire che essa stessa appartiene a questa. 



(***J V. Staudt, Geometrie der Lage, pag 130. 



