22 LE COPPIE DI ELEMENTI l.MAGIXARI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



di punti, e che è quindi luogo dei punti di ugual potenza rispetto ad ambo i cerchi; 

 e segue la teoria degli assi radicali, dei fasci di cerchi, ecc., senza le restrizioni a cui 

 darebbe luogo l'esclusione dei punti imaginari. 



Dalla definizione generale delle coppie di tangenti imaginarie di una conica si 

 vedrebbe similmente che le coppie di tangenti del cerchio (C, p) si possono determi- 

 nare così : per un punto qualunque P la coppia delle tangenti condotte da esso al 

 cerchio, reali od imaginarie, è la coppia delle rette doppie dell'involuzione avente la 



retta P C per un asse e la quantità ——3 ., per prodotto costante delle tangenti 



-Ir C' — p' 



degli angoli che due rette coniugate qualunque fanno con quell'asse. 



23. La proprietà metrica piìi importante nella teoria delle coniche è forse quella 

 fornita dal teorema di Caknot. In fatti tra i vantaggi che essa presenta su altre vi 

 sono quelli di esser proiettiva e di costituire una relazione tra sei punti (0 tangenti) 

 di una conica valida anche se questi formano tre coppie di cui alcune tutte siano 

 imaginarie, ed anzi valida anche quando la conica sia imaginaria. Ora la dimostrazione, 

 che ne diede lo Chasles e che viene riprodotta in quasi tutti i trattati, presenta l'in- 

 conveniente, appoggiandosi sul teorema di Desargues, di esigere anzitutto che almeno 

 due lati del triangolo taglino realmente la conica, e poi che mediante questo caso si 

 dimostrino successivamente quelli in cui un solo lato o nessuno tagli realmente la conica. 

 Oltre ad un difetto di simmetria ed eleganza, tale dimostrazione ha perciò anche quello 

 di supporre essenziamente che la conica sia reale. 



Per ottenere una dimostrazione che valga anche per coniche imaginarie si rifletta 

 che, queste essendo definite da polarità, la dimostrazione dovrà basarsi unicamente sulle 

 proprietà della polarità, e poiché nel teorema stesso figura un triangolo qualunque, 

 si è condotti a basarsi sulla proprietà caratteristica di due triangoli polari l'uno dell'altro, 

 quella cioè di essere omologici, della quale già ci servimmo per stabilire il teorema 

 di Stlrm (che si può ben considei'are come l'equivalente grafico del teorema metrico 

 di Carnot). Sia dunque ABC un triangolo qualunque nel piano di una conica, reale 

 od imaginaria, ed indichiamo ancora con A\ .1",..., gli stessi punti che al n" 19. 

 Poiché i punti A', B\ C" sono in linea retta, cos'i si avrà (applicando ripetutamente 

 il teorema di Menelao): 



BB' .BC ce". CA" AA"'.AB'" _ 

 ^^^ GB' . ce AG". AA" Ba". BB" ~ " 



Ora chiamando A^ .4, , B^ i?., , C, C, le coppie di punti, reali od imaginarie, d'inter- 

 sezione dei lati BG, CA, AB colla conica, sicché sarà A^A.., la coppia dei punti 

 doppi dell'involuzione {BB', CG'), ecc., si avrà (v. la fine del n" 20): 



e quindi sostituendo : 



BB'.BC' BA,.BA, 



— • r: 6CC 



GB'. GG' GA^ . CA^ ' 



BA^ . BA, GB^ . GB., AC^.AG., 



. . , . ., — ) . ^^.^ — , ., _ 



^' CA^.GA,AB^.AB.,BC^.BC, 



