DI COREADO SEGKE 21 



Mediante queste definizioni possiamo ottenere ad esempio una relazione analoga 

 a quella vista alla fine del n" precedente. Si considerino due elementi a, h del fascio 

 ed i loro coniugati «', //' in 3. Sarà, qualunque sia la specie di quest'involuzione: 



sen a a sen a u cos ao — cos a o sen ao cos ao tg a o — tg a'o 

 senta' sen i o cos «'o — cos 6 o sen a'o cosò o tg 60 — tg a'o ' 

 sen a a! cos a tg- ao — le 



ossia appunto 



sen l) a' cos bo tgaotgbo — l ' 



sen a h' cos ao tg « tg 6 — /■• 



sen h h' cos ho tg^bo — k 



sen a a' sen a b' cos- a {tg-ao — tg" m) 



sen b a' sen b V cos" b ( tg"' bo — tg- m) 



sen a a' sen a b sen a m sen a n 



sen i a' sen b b' sen ò wi sen b n 



22. La definizione (n" 16) di coppia di punti imaginari di una curva di 2° ordine 

 si applica in particolare al cerchio, e come questo è caratterizzato da che due fasci 

 proiettivi di rette che lo generino sono fasci direttamente eguali, così essa porta a 

 conchiudere (n" 15) che il cerchio è caratterizzato tra le curve di 2° ordine dal tagliare 

 la retta all'infinito nella coppia dei punti ciclici. 



Inoltre considerando una retta al finito / ed un cerchio di centro C e raggio 0, 

 si può dedurre dalla definizione generale della coppia d'intersezione di r col cerchio 

 una costruzione speciale utile nello studio delle proprietà metriche. Conducasi da C 

 la normale ad r e ne siano il piede ed S, S' i punti d'intersezione col cerchio. 

 Indichiamo con / un punto variabile di questo e con X, X' i punti d'intersezione 

 di )• coi raggi SI, S'I dei fasci proiettivi di centri S, S' generatori del cerchio: 

 dai triangoli simili XOS, S'OX' si avrà, tenendo conto anche dei segni: 



OX. OX'=-OS. OS' , 



ossia, indicando con d la distanza C : 



OX. OX'=p--d~ . 



Dunque la coppia dei punti d'intersezione di r col cerchio è la coppia dei punti doppi 

 3IN reali od imaginari dell'involuzione avente per punto centrale e f/ — cP per 

 potenza. 



Se P è un punto qualunque su r sai'à (n° 20): 



P3I.PN=P0'-{p^-d^) = PC--p^ . 



Quindi se pel punto P del piano del cerchio (C, -;) si fa rotare una retta r, la potenza 

 di P rispetto alla coppia, reale od imaginaria, dei punti d'intersezione di r col cerchio 

 è costante (e data da PC^ — p^). 



Da queste premesse segue immediatamente che, dati due cerchi qualunque in un 

 piano, esiste in generale al finito una determinata retta che li taglia nella stessa coppia 



