20 I,E COPPIE DI ELEMENTI IMAGINARI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



vale a dire la potenza del punto centrale P di 3' rispetto ad ogni coppia imaginaria 

 MN di quest'involuzione è costante ed uguale alla potenza FA- di 3'. Viceversa 

 ogni coppia rispetto a cui P abbia questa potenza apparteri-à ad S'. 



Consideriamo ancora un'involuzione qualunque 3 di punto centrale 0, potenza le 

 e punti doppi reali od imaginari 3IN. Due punti qualunque A, B abbiano per coniugati 

 in 3 risp. A, P'; sarà: 



AO--k 



AA'. AB' _{ AO-AO)[AO-B'0) _ \ ^aJ))\ "Iwì 



BA'.BB'~'{BO-A'0)(BO-B'0)~ / k \7~~ ~T\ ~ B 0-- h 



\ A0Ì\ ~B0) 



ossia : 



A A'. AB' A3I.AN 



BA'.BB' BM . BN ' 



Dunque in un'involuzione qualunque di punti il rapporto delle potenze di due punti 

 qualunque rispetto alla coppia costituita dai loro punti coniugati è uguale al rapporto 

 delle loro potenze rispetto alla coppia dei punti doppi. 



21. Analoghe definizioni permettono di introdurre gli elementi imaginai'i nelle 

 relazioni metriche angolari. In un fascio di rette (o di piani) sia «; n la coppia di 

 elementi doppi di un'involuzione 3 di cui sia o un asse (od un piano principale) ; se 3 

 è iperbolica sarà 



tg- om — tg- on = /.■ , ■ 



essendo /e il prodotto costante (positivo in tal caso) delle tangenti degli angoli che 

 l'asse (od il piano principale) o fa con una coppia reale qualunque di elementi coniugati. 

 Orbene si assuma quella come definizione dei simboli tg^ om , tg- on , quando 3 è 

 ellittica (e quindi Jc negativa) ; e si ritengano allora come definizioni dei simboli sen-o»^ 

 cos-o>», ecc., quelle che costituiscono le loro espressioni in funzione di tg-oìn, t^on 

 nel caso contrario, sicché sarà sempre 



sen" om= sexr on = , cos^ o m = cos^ on = , ecc. 



l+Z- 1+/.:' 



Si ha poi, se 3 è iperbolica e quindi m n sono reali, indicando con }) un elemento 

 qualunque del fascio : 



tg- i)o — tg^oìn 



tg 1) m tg i)n=-- — ; --T, , 



1 — tg-po tg" ìli 



sen jj m seu pn^= cos-p o cos^ o in (tg* ^) o — tg- o tu ) , 



cos p) ìli cos 2) n = cos-p o cos* o ìh ( 1 — t^p o tg^ om) , 



e queste, nel caso contrario in cui ìnn siano imaginari, si assumano come definizioni 

 dei simboli tg p m tg p n , ecc. 



