DI COEKADO SEGKE 19 



Dal teorema di Sxukm si trae subito, come si sa, che le polari di un punto 

 rispetto alle coniche di un fascio formano fascio. Considerando poi le involuzioni deter- 

 minate dal fascio di coniche su due rette qualunque e notando che esse sono pro- 

 iettive (u' 14) alle punteggiate costituite risp. sulle rette stesse dai coniugati del 

 loro punto d'intersezione rispetto alle varie coniche, punteggiate, che in forza della 

 proposizione ricordata, sono sezioni di uno stesso fascio di rette, se ne deduce che 

 « le involuzioni determinate da un fascio di coniche sulle rette del piano sono tutte 

 riferite proiettivamente tra di loro ■>. Ecc. ecc. " ' 



Le coppie di elementi imaginari nelle relazioni metriche. 



20. Vj noto che nelle relazioni metriche si possono introdurre gli elementi ima- 

 ginari senza uscire dal campo delle grandezze reali, cioè senza farvi comparire quantità 

 imaginaric. 



Consideriamo anzitutto una retta r ed abbiasi su questa un'involuzione di punti 

 3 avente per punto centrale e per potenza k : se essa è iperbolica e s'indicano 

 con 31, N i suoi punti doppi, sarà 



OM^:=:ON~=k . 



Orbene (quando invece 3 fosse ellittica, cioè A- negativa si assumerà quest'eguaglianza 

 come definizione dei simboli OM-, ON^, i quali in tal caso, essendo 31 N imaginari, 

 non avrebbero alcun senso (*). — Similmente se 3 è iperbolica la potenza di un punto 

 qualunque P di r rispetto alla coppia 3.IN sarà 



P31.P N= P0--0 M-= P 0'-- h : 



se invece è ellittica si prenderà quest'uguaglianza come definizione del simbolo P 31 .PN, 

 e si cliiamerà ancora potenza di P rispetto alla coppia (imaginaria) 3IN la quantità 

 così rappresentata. In particolare sarà sempre 031 . N= — le. ■ — Si avverta bene 

 che i simboli Pili, PN, ecc., quando 31 N sono imaginari non avranno alcun senso 

 se non si troveranno combinati appunto nel modo detto (come piu'e 31 ed N, separati, 

 non hanno senso). 



Con queste definizioni si possono generalizzare varie relazioni metriche segmen- 

 tario: ne daremo solo due esempi. Anzitutto si consideri su r un'involuzione iperbolica 

 3' di punti doppi AB e punto centrale P e sia MN una sua coppia imaginaria. 

 L'involuzione ellittica 3 di punto centrale e potenza h relativa a questa coppia 

 conterrà la coppia AB, sicché sarà 



k = OA.OB = PO--PA- . 

 e quindi 



P3I.PN = P0--k = PA' . 



(*) V. Staudt: Von den reellen und imagindren Halbmessern der Kurven und Flàchen II. Ordnung 

 (iNùrnberg 1867), pag. 6. 



