18 LE COPPIE DI ELEMENTI I.MAGINARI NELLA GEOMETKIA PROIETTIVA SINTETICA 



\ !K È importante nella geometria proiettiva sintetica, anzi che limitarsi alla consi- 

 derazione delle coniche reali, Tintrodnrre anche le coniche nvaginarir, le quali si 

 possono definire , come hen si sa , mediante sistemi polari in cui non vi sia alcun 

 punto (reale) posto sulla sua polare. Oltre che con ciò molte proposizioni della teoria 

 delle coniche (derivanti dalla polarità) acquistano un significato più generale, si ha il 

 vantaggio di poter poi introdurre con perfetto rigore il cerchio imaginario all'infinito 

 nelle questioni metriche, ad esempio nella ricerca puramente sintetica degli assi , delle 

 sezioni circolari e delle proprietà focali delle quadriche. Per coppia di punti imaginari 

 di una conica imaginaria sintenderà la coppia dei punti doppi dell "involuzione di punti 

 coniugati rispetto al relativo sistema polare posta su una retta (e dualmente) ; ed in 

 generale la teoria del sistema polare darà subito quella della conica immaginaria. 



Nei fasci di coniche (a base tutta imaginaria) converrà pure considerare le coniche 

 imaginarie. La proprietà fondamentale di un fascio di coniche, cioè il teorema di Stuem, 

 si dimostra facilmente nel seguente modo"_ che pare notevole appunto perchè serve per 

 fasci affatto generali in cui si consilerino anche coniche imaginarie. Siano r', r\ r" 

 tre rette qualunque date, lati di un triangolo i cui vertici rispettivamente opposti a 

 quelle siano A, B, C; e consideriamo nello stesso piano una conica V , reale od 

 imaginaria (non passante per alcuno di quei vertici). La proposizione che cerchiamo 

 è in sostanza una relazione tra le coppie dei punti d'intersezione, reali od imaginari, 

 di r con r', r", r"", la quale ci mostri come, tenendo fisse le prime due coppie e 

 variando T vari la terza su r'" ; od in altri termini è una relazione tra le involuzioni 

 3', 3", 3" di punti coniugati rispetto a F (cioè al relativo sistema polare) poste su 

 r', r", r'" . Orbene queste involuzioni siano rispettivamente determinate dalle coppie: 



3' {BB\ ce), 3"(CC", AA"), T{AA"', BB'"); 



le polari di ^1, B, C rispetto a F saranno .-1"^'", B'"B'. C'C'e taglieranuo risp. r', r", r" 

 in tre punti A , B" , C" : il legame tra quelle tre involuzioni, cioè di essere involuzioni di 

 punti coniugati rispetto ad una stessa conica , equivale a questo che i punti A', B' , C" 

 sono in linea retta (per la nota proprietà caratteristica di due triangoli polari rispetto ad 

 una conica di essere omologici). Ora da ciò segue che, date r, r", r" e le involuzioni 

 3' 3" su »•'. r", i punti A" , B" di r'" sono coniugati nell'involuzione 3 perfettamente 

 determinata dalla coppia A, B e dalla coppia dei punti d'intersezione di r'" colle 

 rette A" C, B' C" (poiché i due quadrangoli completi ^"i?'J-' 5", A" B' C C" deter- 

 minano su r'" una stessa involuzione, la quale conterrà per conseguenza appunto 

 queste ultime due coppie di punti e la coppia A'", B"). Quindi al variare di F 

 l'involuzione 3" {AA'" , BB"') varierà restando sempre armonica a quell'involuzione 

 fissa 3 che contiene le coppie AB, A'" B'" : si ha cioè il teorema di Stukm: « tutte 

 le coniche, reali od imaginarie, passanti per due coppie fisse, reali od imaginarie, di 

 punti (le coppie degli elementi doppi di 3', 3") tagliano una retta qualunque r" nelle 

 coppie, reali od imaginarie, di un'involuzione 3 costruibile nel modo visto ». Notisi 

 poi che in questo modo resta pure dimostrato l'inverso, cioè che per ogni coppia 

 dell'involuzione 3 passa una determinata conica del fascio considerato; sicché in par- 

 ticolare ne segue che per due coppie, reali od imaginarie, di punti e per un altro 

 punto reale passa in generale una conica reale determinata. 



