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e ripetendo questa proiettività nuova (ciclica) : 



4 5 6 3' 1' 2' A G 4 5 1' 2' 3' , 

 cosicché sostituendo nella prima relazione si avrà : 



1 2 3 6' 4' 5' 7\ 6 4 5 1' 2' 8' . 



n 12 3 



Ora questa prova che la proiettività p 4 - e trasformata nella sua inversa 



dalla stessa involuzione considerata ; cioè le tre proiettività 



12 3 12 3 12 3 



45 (3' 5G4' 645 



sono armoniche ad una stessa involuzione (*). 



Trasportata nel modo detto (e notando che se un'involuzione di punti di una 

 conica è armonica ad una proiettività, il suo polo e l'asse di questa sono incidenti) 

 questa proposizione ci dice che le 3 rette di Pascal rappresentate da quelle proiet- 

 tività concorrono in un punto (di Steinek). 



Consideriamo ora le tre proiettività 



14 6 15 4 13 6 



253' 623' 42 5' 



Siano 1' 2' . .. i coniugati di 1 2. . . nell'involuzione armonica alle prime due: 

 avremo dalla 1 " : 



1 6 2' 5' A 2 3 1' 4' 

 e dalla 2' 



2 3 1' 4' A 5 4 6' 3' A 4 5 3' 6' , 



e quindi combinando : 



1 6 2' 5' A 4 5 3' tì' . 



Questa relazione insieme colle 



1 6 4' 5' A 4 5 1' 6' , 



1 3 4' 2' A 4 2 1' 3' , 



le quali sono conseguenza dell'involuzione 11', 22', ... , provano che 



1 3 6 4' 2' 5' A 4 2 5 1' 3' 6' , 



cioè che la 3" proiettività considerata è trasformata nella sua inversa da quell'invo- 

 luzione, cioè le è pure armonica. Dunque quelle tre proiettività sono armoniche ad 

 una stessa involuzione. — Per la conica se ne trae che le tre rette di Pascal corri- 

 spondenti alle dette proiettività concorrono in un punto (di Kirkman). 



(*) Più brevemeate : si osservi che, chiamando risp. <p, , ì),, ì), quelle tre proiettività, si ha: 

 ^3 = ^i'Pj~'ì',- Ora se 5 è l'involuzione armonica a <)), ed a <?,,, sarà: 5^,5=:^),-', 37),3=ì>,-' e 

 quindi: 3'P33 = S('P,7),-"p,)3i= 3<p,3< ( 3<p,-' 3) (37), 3)= •p,-'^,<P,-' = ÌJj-', cioè 3 sarà 'pure 

 armonica a 7*3. — Un'altra dimostrazione dell'esistenza dei punti di Steiner piiì simmetrica e più 

 completa, giacché mostra pure che questi sono a coppie coniugati rispetto alla conica, si troverà nella 

 Nota sui fasci di proiettività di cui già feci cenno. 



Serie II. Tom. XXXVIII. e 



