16 LE COPPIE DI ELEMENTI IMAGINARI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



Si può poi definire come involuzione di pantl coniugati rispetto alla conica^ su 

 una retta r l'involuzione unita che si è riconosciuto esser comune a tutte le proiet- 

 tività determinate su r da fasci proiettivi generatori della conica, vale a dire 1 mvo- 

 luzionc avente per elementi doppi la coppia d'intersezione da r colla cornea (p r 

 definizione di questa coppia, sa essa è imaginaria). E allora segue pure immediatamente 

 il teorema fondamentale della teoria della polarità: il luogo dei punti coniugati di un 

 punto P rispetto alla conica è una retta. Poiché condotte per P due trasversali che 

 taglino realmente la conica risp. in ^, 5 e C, B, la retta p congiungente x due puiiti 

 di gonali diversi da P del quadrangolo completo AB GB sarà tagliata da ogni retta 

 r passante per P in un punto P' che è coniugato di P nellinvoluzione di punti co- 

 niugati posta su r: invero P, B' saranno evidentemente i punti doppi dell involu- 

 zione r{AC,BB;AB,BC)e questa è armonica allmvoluzione di punti conni- 



aati. — Ecc. ecc. 



Non occorre aggiungere che colle proposizioni precedenti e le loro conseguenze 

 converrà dare anche le proposizioni e le definizioni duali di coppia di rette imagmarie 

 di un inviluppo di 2" classe, di rette coniugate rispetto a questo, ecc. 



i8 Vi è un modo di dimostrare le proprietà dell'esagrammo di Pascal che si 

 collega colla nostra teoria e di cui quindi faremo qui un cenno. Se nello studio delle 

 serie proiettive di punti su una conica si stabilisce il concetto del polo di un involuzione 

 direttamente, senza derivario dalla considerazione dell'asse di una proiettwità, allora 

 si può considerare la proposizione con cui abbiamo finito il n" 9 come una dimostrazione 

 (meno semplice, del resto, che altre note) del teorema di Pascal per l'esagono semplice 

 ABCA!B C iscritto ad una conica, e le cui coppie di vertici opposti AA,Lh,LL 

 si considerino come coppie di punti corrispondenti in una proiettività. 



Lo studio della figura costituita dalle GO rette di Pascal relative ai OO esagom 

 semplici aventi per vertici sei punti fissi di una conica coincide collo studio delle rela- 

 zioni che passano tra le 60 proiettività determinate da tre coppie di elementi corn- 

 spondenti formate con sei elementi fissi. Come esempio dimostreremo in questo modo 

 l'esistenza dei punti di Steiner e di Kirkman. _ 



Siano 1 2 3 4 5 6 sei elementi qualunque di una forma di V specie (p. e. punti 

 di una conica), e consideriamo le due proiettività 



12 3 12 3 



4 5 6' 564 



Nell'involuzione armonica ad entrambe (cioè alle loro involuzioni unite) siano 1', 2',. . 

 i coniugati di 1, 2,. . .: essa trasformerà (n. 9) ciascuna delle due proiettività nella 

 sua inversa sicché la V proiettività darà: 



1 2 3 6' 4' 5' A 4 5 6 3' l' 2' , 



"" ^'' ^" 1 2 3 6' 4' 5' A 5 6 4 2' 8' 1' . 



Dunque confrontando 



4 5 6 3' r 2' A 5 6 4 2' 3' 1' . 



