ni CORRADO SEGEE 15 



fasci proiettivi sceglieuilo ad arbitrio su essa i centri di questi. Siano dati 5 punti 

 di un piano SS^ S., AB & consideriamo la coppia di fasci proiettivi S(S^AB), SJS.^AB) 

 e la coppia S{S^AB), S^{S^AB): esse determineranno su una retta arbitraria r del 

 piano risp. due proiettività che dico aver comune la coppia degli elementi uniti. 

 Indicando con r {SS^, SA,...) i punti d'intersezione di r colle rette SS^, 

 SA , . . , quelle due proiettività su r saranno determinate risp. dalle coppie di ele- 

 menti corrispondenti 



SS.-, SA SB 



e dalle coppie 



\ 



ì S^S, ' S^A ' S^B 



\ S ,?! S A S B 



I S,S^ ' S,A ' S.,B 



Quindi le loro coppie di elementi uniti sono (n" 9) rispettivamente l'unica coppia comune 

 alle involuzioni 



Ma queste ultime due involuzioni coincidono colle prime due, poicliè i quadrangoli 

 completi SS^S„A, SS^S^B mostrano l'esistenza delle involuzioni 



r{S^S., , SA ; SS., , S^A : SS^ , S.,A) ; 

 r{S^S^ , SB ; SS., , S^B ; SS^ , S.^B) . 



Dunque realmente le due proiettività considerate su r hanno la stessa coppia di punti 

 uniti. 



Con ciò è provato che nella curva di 2° ordine generata da due fasci proiettivi 

 di centri S, S^ si può sostituire ad S^ un altro punto qualunque S., della curva 

 senza che cambi la coppia dei punti, reali od imaginari, d'intersezione con una retta 

 qualunque. Ne segue che si potranno cambiare i centri di entrambi i fasci, ecc. 



17. 11 teorema di Desaegues in tutta la sua genei-alità segue ora immediatamente 

 nel modo noto (ed in sostanza lo si trova già implicitamente nel ragionamento pre- 

 cedente); poiché se AB CB sono 4 punti di una conica, le punteggiate proiettive, deter- 

 minate su una retta r dai fasci proiettivi generatori della conica aventi per centri A, B, 

 avranno per coppie di elementi corrispondenti r(AC, BC; AB, B D) e quindi l'in- 

 voluzione 



r{AC , BD ; AD , BC) 



conterrà la coppia, reale od imaginaria, di elementi uniti di quella proiettività su r, 

 cioè la coppia comune ad r e alla conica. 



