14 LE COl'PIE DI ELEllEKTI IIUGINARI NELLA GEOMETRIA PROIETTIVA SINTETICA 



degli elementi uniti sia imaginaria, sostituendo alla proiettiyità da cui si parte una 

 rotazione (uguaglianza diretta) in un fascio di rette (o di piani), il che si sa esser 

 sempre possibile. Si può allora provare direttamente con un ragionamento semplicissimo 

 che le proiettività permutabili ad una rotazione (di un angolo non retto) sono le altre 

 rotazioni: quindi la sola involuzione permutal)ile alla rotazione considerata sarà la 

 rotazione di un retto, cioè la involuzione circolare. Questa sarà la involuzione unita 

 comune a tutte le rotazioni e si verificano subito su essa la costruzione generale vista 

 dell'involuzione unita di una proiettività qualunque, e quella delle involuzioni armo- 

 niche all'involuzione unita (che qui sono le simmetrie). Segando colla retta all'infinito 

 e definendo per coppia dei punti ciclici del piano la coppia dei punti doppi imaginari 

 dell'involuzione circolare all'infinito (cioè questa stessa involuzione), si ha che due fasci 

 direttamente eguali di un piano determinano sulla retta all'infinito una proiettività avente 

 per elementi uniti la coppia dei punti ciclici e che l'angolo di due rette non varia al 

 variare di queste nel loro piano se il gruppo formato dai loro punti all'infinito colla 

 coppia dei punti cichci rimane proiettivo a se stesso (d'accordo col n" 12). Ecc. ecc. 



Le coppie di elementi imaginari nella teoria grafica 



delle coniche. 



■16. Nella teoria proiettiva delle coniche conviene introdurre fin dal principio la 

 considerazione delle loro coppie di punti e di tangenti imaginarie ; ma per poter far 

 ciò con rigore bisogna definire bene che cosa s'intenda con tali espressioni. Definendo, 

 come generalmente si fa, una curva di 2" ordine come l'ente generato da due fasci pro- 

 iettivi di rette di un piano (*), una retta qualunque r di questo taglia quei fasci in due 

 punteggiate proiettive; se la coppia dei punti uniti di queste è reale, essa costituisce eviden- 

 temente l'intersezione di r colla conica ; ma se essa è imaginaria, r non taglia più la conica, 

 e si può tuttavia definire quella coppia come coppia imuginaria di punti delia conica, 

 cioè come la coppia di punti imaginari d'intersezione di r con questa. Ciò appunto si suol 

 fare; ma è singolare che non si pensa mai esser lecita la domanda, se al variare dei 

 due fasci proiettivi generatori della serie dei punti (reali) della conica ed al variare per 

 conseguenza delle due punteggiate proiettive su r non varierà la coppia degli elementi uniti 

 imaginari di queste : in fatti che quella coppia non varia è evidente solo quando r taglia 

 realmente la conica, ma non più se la coppia stessa è imaginaria. Senza riflettere a tale 

 obbiezione si introduce poi il fatto non dimostrato che quella coppia di elementi uniti non 

 varia nelle dimostrazioni di altri teoremi, come quello di Des.ìRGUES. Cos'i fa, ad esempio, 

 lo Chasles (**). 



Ora si può togliere quella lacuna nel seguente modo, che contiene in sostanza 

 una nuova dimostrazione, più completa delle ordinarie (in quanto tiene conto anche delle 

 coppie di punti imaginari), del fatto che una curva di 2" ordine si può generare con 



(♦) È noto che Staudt la definisce invoce come il luogo dei punti che stanno sulle loro polari 

 rispetto ad un sistema polare. Questa definizione meriterebbe forse di esser preferita nell'insegnamento 

 della geometria di posizione a quella, usata finora quasi esclusivamente, su cui sopra mi baso. 



(^*, V. S'jctions coniques, p. 9 e 17. 



