336 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



II. 



Teoria delle curve piane. 



La Teoria generale delle curve piane nacque con la Geometria cartesiana. È fa- 

 cile rendersi ragione del fatto che abbia tardato fino a quel momento a sorgere una 

 teoria tanto importante. Infatti la definizione di ordine di una curva, la conseguente 

 distinzione delle curve in algebriche o trascendenti, l'esatta nozione di curva generale 

 nel suo ordine, sono idee per lor natura essenzialmente analitiche. Lo stabilirle sinteti- 

 camente è un problema difficilissimo che solo oggi accenna a cedere ai ripetuti sforzi 

 dei geometri; invece, quando si adopera un sistema di coordinate, qual cosa più agevole 

 del determinare esattamente questi concetti fondamentali e anche di combinarli fra 

 loro si da trame interessanti conseguenze? 



La verità di quest'asserzione troviamo confermata dal fatto, che non molto dopo 

 Descartes furono scoperte importanti proprietà comuni a tutte le cui've algebriche : 

 tali sono quelle che Newton fece note in tre celebri teoremi contenuti nella sua Enu- 

 meratio linearum tertii ordinis (1706); tali quelle che gli scolari di Newton, Còtes 

 (1682-1716) e Maclaurin diedero come generalizzazione delle proprietà scoperte da 

 Newton; tali infine quelle trovate da Waring (17-34-1798). Inoltre furono additate, 

 da Maclaurin e Braikenridge (1700 circa, -{- dopo il 1759), alcune interessanti ge- 

 nerazioni organiche di curve simili a quella che Newton diede per le coniche. Final- 

 mente furono insegnati da De Gua (1712-1786) dei metodi per determinare le sin- 

 golarità delle curve piane definite mediante equazioni. 



Superfluo il dire che le prime trattazioni metodiche della teoria delle curve piane 

 sono del dominio della Geometria analitica; esse sono dovute a Eulero t^) e a Cramer (^) 

 (1704-1752). I quali, a breve distanza l'uno dall'altro (1748 e 1750), le studia- 

 rono a fondo, occupandosi di preferenza delle singolarità e in genere di quelle que- 

 stioni che oggi si risolvono coi sussidii della Geometria infinitesimale. Ma nell'opera 

 di Cramer, per tanti rispetti ammiranda, troviamo anclie le prime ricerche sulle in- 

 tersezioni di curve, e fra esse l'indicazione di quello che più tardi fu chiamato « pa- 

 radosso di Cramer «, cioè di quell'apparente contraddizione fra il numero de 'punti atti 

 a determinare una curva di dato ordine e il numero delle intersezioni di due curve 

 di quest'ordine (3), contraddizione che fu tolta molti anni dopo (1818) dal Lamé 

 (1795-1870) col celebre principio che porta il suo nome, e che deve riguardarsi 

 come la prima pietra di quel grandioso monumento costruito con una folla di teoremi 



(1) Introductio in analysin infinitorum, t. II. 



(2) Introduction à l'analyse des lignas courbes algébriques. 



(3) Poco prima della pubblicazione dell'opera di Cramer, Eulero trovò (v. le Memorie di Berlino. 

 i748) che dei nove punti base di un fascio di cubiche piine, uno è determinato dai rimanenti. 



