338 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



golarità d'ordine superiore, risposero le ricerche di Cayley e di altri (^), le quali 

 condussero a concludere che qualunque singolarità di una curva si può considerare 

 come equivalente a un certo numero di punti doppi, di cuspidi, di flessi e di tangenti 

 doppie. 



Aggiungerò che, grazie a Jacohi (2), Hesse (1811-1874) (3j, Salmon (*i, Cayley (5) 

 e ai loro numerosi commentatori (^ , si è oggi in possesso di metodi eleganti per de- 

 terminare analiticamente i flessi di una curva di data equazione e i punti di contatto 

 delle sue tangenti doppie. 



Di tutte queste e di molte altre questioni relative alla Teoria analitica delle 

 curve piane è agevole oggi prendere esatta conoscenza , grazie ad uno (~) dei pre- 

 gevolissimi trattati coi quali il Salmon contribuì così potentemente alla diffusione dei 

 più recenti metodi algebrici e geometrici. 



Ma non è a credere che in (luesto studio l'uso continuo dell'Analisi sia indi- 

 spensabile ; che accanto alle esposizioni della Teoria delle curve piane di Eulero , 

 Cramer , Plucker, Salmon , non tardò sorgerne una altrettanto completa ma più geo- 

 metrica : ed ecco in qual modo. 



In una celebre comunicazione fatta nel 1848 all'Accademia di Berlino, Steiner, 

 riprendendo la Teoria delle polari di un punto rispetto a una curva, che Bobillier 

 (1797-1882) aveva stabilita già da tempo (^3 come estensione delle curve diametrali 

 di Newton e Cramer e di cui anche Grassmann (1808-1877) erasi occupato v^ , mostrò 

 come essa poteva servire di base a uno studio delle curve piane indipendente dall'uso 

 tli coordinate e introdusse quelle notevoli curve covarianti a una data che portano 

 oggi il nome di lui , di Hesse e di Cayley. Queste brevi indicazioni , unendosi alle 

 ricerche dello stesso Steiner, di Chasles (^'^5, e di Jonquières (^^) sulla generazione 

 delle curve algebriche mediante fasci proiettivi di curve d'ordini infei-iori, servirono di 

 base alla Introduzione d una teoria geometrica delle curve piane i^'^), nella quale il 



(1) Catley , Quarterly Journal, v. VII e G. di Borchardt, t. LXIV; Nother; Math. Annolen , 

 IX Bd.; Zeuthen , Ib. X Bd. ; Halphen , jWmojVus présentés à l'instilul t. XXVI; J. S. Smitb, Proc. 

 ofthe London math. Societi/, voi. VI; Brill, Math. Annalen, XVI Bd.; Kaffy, ib. XXIII Bd. 



(2) G. di Creile, v. XL. Cfr. Clebsch, G. di Borchardt, v. LXUI. 



(3) Ib., voL XXXVI, XL e XLI. 



(4) Philosophical Magatine. Ottobre 1858. 



(5) Philosophical Transactions, 1859. 



(6) P. e. Debsch, Math. Annalen, v. VII. 



(7) A Treatise on hiyher piane curves, 1852. 



(8) Annales de ìlalhématiques, t. XIX. 



(9) G. di Creile, voi. XXIV. 



La teoi'ia delle polari (rispetto a curve e a superficie) fu ia questi ultimi tempi generalizzata iu 

 modo notevole dal Clifford {Proceedings ofthe Lond. math. society, 1868, oppure Malheniatical Papers, 

 1882, p. 115) e dal Reye G. di Borchardt, t. LXXII e LXXVIII); ad essa il prof. De Paolis dedicò 

 un interessante scritto pubblicato fra le Memorie dei Lincei, 1885-86. 



(10) Comptes rendus de V .icadémie des sciences de Paris, 1853. 



;11) Essai sur la generation des courbes ycométriques, 1858. (Extrait du t. XVI des Meni. d. sav. 

 étr.). Cfr. Hartenbergbk, G. di Borchardt, t. LVIII. 



(12) Pubblicata nel 18G2 fra le Memorie dell' Accademia di Bologna. 



Mi sia concesso esprimere qui il desiderio che l'illustre Prof. Cremona, di cui è noto l'interesse 

 per l'incremento degli studii geometrici, voglia, con nuove edizioni, rendere accessibili a tutti i suoi 

 celebri scritti sulla Teoria delle curve e su quella delle superficie. 



