356 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



I casi più semplici di corrispondenza univoca sono l'omologia, studiata da Pon- 

 celet (1822), e l'omografia con i suoi casi particolari, studiata da Mòbius (1827), 

 da Magnus (1833) e da Chasles (1837). In questi casi, non solo ad ogni punto cor- 

 risponde un punto, ma anche ad ogni retta una retta. — Un esempio di corrispondenza 

 più complicata fu ottenuto da Steiner nel 1832 colla costruzione seguente ^) : Dati due 

 piani distinti e due rette sghembe, per ogni punto di uno di quelli si conduca la retta 

 che si appoggia alle due date e se ne determini la traccia sull'altro piano ; associando 

 questa traccia al punto scelto nel primo piano si ottiene una corrispondenza univoca 

 tale che ad ogni retta dell'un piano corrisponde una conica nell'altro. Facendo coin- 

 cidere i due piani si giunge a una corrispondenza - in sostanza non differente da 

 quella incontrata da Poncelet fra i punti coniugati rispetto a un fascio di coniche '['^) 

 - che fu studiata per via analitica dall'eminente geometra Tedesco Magnus (1790- 

 1861) '3) e dal nostro Schiaparelli ('*), per via sintetica dal Seydewitz (5) e più recen- 

 temente dal Eeye C^X — A un terzo esempio condusse la soluzione di alcuni problemi 

 di Fisica matematica ; vi si perviene nel seguente modo : Dato un punto fisso, si 

 associno fra loro due punti (di un piano passanti per esso) le cui distanze da questo 

 siano inversamente pi'oporzionali ; si otterrà così una corrispondenza univoca che muta 

 ogni retta in una circonferenza ed ogni circonferenza in una circonferenza, la quale 

 fu studiata dal Thompson (^) come « principio delle immagini » e che tutti conoscono 

 sotto il nome di « trasformazione per raggi vettori reciproci » o « inversione ». 



Tutte queste trasformazioni sono lineari o quadratiche, perchè mutano una retta 

 in una linea di 1" o di 2" ordine. Tuttavia Magnus notò che, ripetendo una trasfor- 

 mazione quadratica , in generale se ne ottiene una di ordine superiore (8). Questa 

 osservazione importante rimase sterile fino al momento (1868) in cui il Prof. Cremona, 

 dai pochi casi dianzi discorsi, assurse alla Teoria generale delle trasformazioni geo- 

 metriche delle figure piane ^'. 



Per dimostrare al lettore l' importanza degli scritti che il Cremona dedicò 

 a questa Teoria i^^\ io vorrei esporre in che modo questo grande geometra abbia 

 ridotto lo studio delle trasformazioni univoche a quello di una rete omaloidica di curve 

 e la determinazione di una tal rete alla risoluzione di un sistema indeterminato di 



(1) Questa costruzione, chiamata dai tedeschi « Steiner'sche Projection «, fu ritrovata nel 18G5 

 dal Transon che le impose il nome di « projection gauche ». Nouvelles Annales de Mathématiques, 

 t. IV e V della 2" seriei. 



(2) V. anche una Memoria di ì'lìjcker inserita nel voi. V del G. di Creile. 

 [3] G. di Creile, t. Vili; e Aufyaben und Lekrsatie, 1833. 



(4) Memorie dell'Accademia di Torino, 1802. 



(5) Grunert's Archiv, Th.VlI. 



-|6) Zeitschrift fur HJath. u. Phi.i., t. Xi. 

 1,7) G. di Liouville, t. X e XII. 

 i'8i Sammhmg von Aufgaben und LehrsdUe, 1833. 



(9) Negli anni 1859 e 1860 il De Jonquières studiò la trasformazione d oi'dine n - che porta il suo 

 nome - in cui ad ogni retta corrisponde una curva d'ordine n, con un punto (n — 1)— pio; alcuni dei 

 suoi risultati furono pubblicati nel 1864 nei Nouvelles Annales, ma il lavoro completo che egli dedicò 

 a tale trasformazione vide la luce solo nel 1885 per cura del dottor CìucciA (v. G. di Matematiche, 

 t. XXlll). Noterò anche che fin dal 1834 .Mòbius studiò (G. di Creile, t. XI i) le corrispondenze univoche 

 fra due piani in cui le aree di due figure corrispoiideati stanno in un rapporto costante; queste ri- 

 cerche sono però di indole affatto diversa da quelle considerate nel testo. 



(10 Memorie dell'Accademia di Bologna, 1863 e 1865; G. di Matematiche, t. I e III. Cfr. Bulletin 

 des Sciences math. et astr., t. V. 



