358 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE fiEOMETRICHE 



recentemente l' Holzmiiller (') dimostrarono l'utilità - che forse è maggiore per la 

 Fisica matematica che per la Geometria pura ('-!. 



Il concetto di corrispondenza fra due piani si può generalizzare in parecchi 

 modi ; ma quelli che più spontaneamente ci si presentano sono i seguenti: 



Anzitutto, senza uscire dal piano, si può stabilire una corrispondenza fra ogni 

 punto di esso e una curva di un sistema doppiamente infinito posto o non in esso; questo 

 genere di corrispondenza è un'estensione della correlazione fra due piani: indicata da 

 Plucker, essa fu sviluppata da Clebsch (3j e diede origine alla Teoria dei connessi W. 



Poi, passando allo spazio, si può stabilire una corrispondenza fra i punti di due 

 superficie (in particolare fra i punti di una superficie curva e i punti di un piano), 

 oppure fra i punti di due spazii. 



La rappresentazione di una superficie su un piano si può far risalire all'antichità, 

 perchè Ipparco e Tolomeo si proposero il problema della costruzione delle carte geogra- 

 fiche e lo risolsero mediante quella che oggid'i si chiama « proiezione stereografica > . 

 La proiezione di Mercator (1512-1594), le ricerche di Lambert (1728-1777) e 

 Lagrange, la celebre risposta di Gauss a una questione proposta dall'Accademia da- 

 nese i^) , mostrano come i bisogni giornalieri della Geografia e della Navigazione 

 spingessero incessantemente gli scienziati a occuparsi del problema di rappresentare 

 univocamente su un piano la superficie del nostro pianeta. Ma la prima rappresen - 

 tazione di una superficie su un'altra, fatta coli 'unico intento di studiare più agevol- 

 mente una di esse, è dovuta a Gauss, il quale suggerì (1827) nelle sue celebri 

 Disquisitiones generales circa sicperficies curvas come utilissimo il far corrispon- 

 dere i punti di una superficie qualunque ai punti di una superficie sferica , asso- 

 ciando due punti in cui le normali fossero parallele v^). Una particolarità di questa 

 corrispondenza è che, affinchè essa risulti univoca, è quasi sempre indispensabile rap- 

 presentare solo una parte della superficie che si studia; non vogliamo passar sotto 

 silenzio tale proprietà, perchè il citarla ne porge occasione di far nota la differenza 

 che passa fra la rappresentazione sferica e quelle proposte da Plucker (~), da Chasles (*^) 



(1) V. l'opera Einfiihrung in die Tìieorie der isogonalcn V enrandscha ften. (Leipzig, 1883;. 



(2) Fra tre forme geometriche si può stabilire una corrispondenza tale che a una coppia di ele- 

 menti scelti l'uno nell'una, l'altro nell'altra delle forme, ne corrisponde univocamente uno nella terza. 

 Se, quando uno degli elementi si tien fisso,' gli alti-i due descrivono sistemi proiettivi, la corrispon- 

 denza si chiama trilineare; e venne studiata, nel caso di forme di 1^ specie dal Rosjnes {.Journal 

 fùr Mathematik, t. LXXXVill), dallo Schubert [Math. Annalen,Bà. XVII e, in un caso particolare, 

 da Benno Klein [Theorie der trilinear-symmetrischen EUmentargebilde, Marburg, 1881) ; nel caso di 

 forme di 2" specie dall'MAUCK {Journal fur Malhem., t. XC, Xl'Vll e XCVIll), il quale ne fece alcune 

 applicazioni alla Geometria descrittiva che sembrano di oonsidei'evole utilità pratica. 



(3) Muth. Annalen, VI Bd. 



(4) Si veggano i lavori del Godt {Góltinger Inaugural-dissertalion. 1873), dell'.^RMENANTE ^Aui 

 dei Lincei, 1875), del Battaglini (G. di Mathematiche, v. XIX e XX) e del Peano {Atti di Torino, t. XVl). 

 Le figure dello spazio analoghe ai connessi furono studiate dal Kkause nel t. XIV dei Math. Annalen. 



[ò) Gauss, Werke, t. IV. Una traduzione italiana di essa pubblicata dal prof. Bbltrahi nel t. IV 

 degli Annali di Tortolini. 



(6) Questa rappresentazione, oggi chiamata « sferica », fu indicata, prima di Gauss, da 0. Ro- 

 DRlGUEZ nel 1815; ma questi non ne mise in luce tutta la fecondità, come fece il grande geometra Tedesco. 



(7; G. di Creile, t. XXXIV. 



(8) Comptes rendus, t. LUI. 



