360 IL PASSATO E ir, PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



ritenere ancora insoluta ; a provarlo basti il dire che, se è noto essere tutte le su- 

 perficie di II e III ordine (non coniche) rappresentabili univocamente su un piano, 

 non furono ancora determinate tutte le superficie di IV ordine aventi questa proprietà (^' 

 I risultati più generali che si conoscono su questo argomento furono , se non erro , 

 ottenuti dal Nother 1-); il quale, con un'analisi oltre ogni dire elegante, giunse a 

 rappresentare su un cono qualsiasi superficie che contenga una schiera semplicemente 

 infinita di curve razionali. 



Ma le difficoltà che s'incontrano nel rappresentare univocamente su un piano certe 

 superficie, fece sorgere in Clebsch l'idea di stabilire fra una superficie e un piano una 

 corrispondenza multipla, ossia (com'egli diceva pensando alle superficie di Riemann) di 

 rappresentare una superficie su un piano multiplo, e quindi di riferire questo a un piano 

 semplice (3 . Quest'idea - i cui germi si possono forse rintracciare nella generalizzazione 

 della proiezione stereografica proposta da Chasles W - non potè venir svolta comple- 

 tamente dal suo autore; ma le indicazioni che egli diede non rimasero senza frutto, 

 olle diedero origine alla Teoria delle trasformazioni piane doppie , che il prof. De 

 Paolis ha stabilita e con molteplici applicazioni illustrata (5;. 



La seconda generalizzazione delle trasformazioni cremoniane diede origine alla Teoria 

 delle trasformazioni razionali dello spazio. Due esempi di tali corrispondenze erano offerti 

 dalla omografia fra due spazii (e suoi casi particolari) e - come notarono Magnus *'', 

 Hesse G') e Cremona l*^' - da quella trasformazione che si ottiene mediante tre spazii 

 correlativi ad uno stesso spazio, associando ad ogni punto di questo l'intersezione dei 

 piani ad esso corrispondenti in quelli. Ma la Teoria generale sorse solo verso il 1870 

 per opera di C'ayley C^), di Nother (^0) g dj Cremona (!'), quantunque Magnus l'avesse 

 abozzata e ne avesse intuita l'importanza fino dal 1837 (12). 



Dei notevoli lavoi'i in cui questi scienziati fondarono la Teoria in discorso, il più 

 importante, quantunque incompleto, è senza dubbio dovuto alla penna del nostro illustre 



(1) Le superfìcie di 4" ordine di cui si conosce la rappresentazione su un piano, sono le rigate 

 razionali, la superficie Romana, la superficie con retta o conica doppia, i monoidi, e una superficie 

 avente un puuto doppio uniplanare (v. una ÌVlemoria del ÌSòiher nelle Nachrichten di Gottinga, 1871; 

 e una del Cremona nella Colleclanea mathematica). Chi studia la rappresentazione di una superficie 

 su un'altra non deve dimenticare le belle ricerche dello Zeuthen (v. nota prec. e Comptes rendus, 1870j 

 e le susseguenti del Krey Math. Annalen, t. XVIII) e del Voss [Math. Annalen, t. XXVII); e potrà 

 trarre non lieve vantaggio dalla conoscenza della corrispondenza stabilita dal Kkììtok [Journal f. Malli., 

 V. XLY) fra i punti di una certa superficie cubica e alcune terne di punti di un piano. 



(2) Math. Annalen, t. III. 



(3) Math. Annalen, t. III. 



(4; Apergu hislorique. Note XXVJII. 



(5) Memorie dei Lincei, 187(5-77-78. Cfr. una nota di Nòther negli Erlangener Sitiungsberichle, 1878. 



(6) Aufyaben und Lehrsàtze aus der anali/iischen Geom. di Raumes, p. 403 e seg. 

 (7,1 G. di Creile, t. L'j. 



(8) V. nota (10) della pag. antiprecedente. 



(9) Proceedings of the London Math. Society, t. 111. 



(10) Math . Annalen, t. III. 



(11) Rendiconti delVIstituto Lombardo, 1871; .Annali di Matematica, serie li, t. V; Memorie del- 

 l'Accademia di Bologna, 1871-72. 



Si veggano anche i più recenti lavori dello stesso geometra nelle Transoctions of Edimburgh 

 (v.XXXlI, pai'te 2»), in quelle àe\V Accademia Irlandese, ,v. XXVIII) e nei Proceedings of the London 

 math. Society (v. XV). 



^12j Aufya'jsn und LehrsàUe aus der anaiylischen Geometrie des Raumes., p. 417-8, note. 



