MONOGRAFIA STOHICA PI GINO LOKIA 3t51 



connazionale. Guidato dall'analogia che questa dottrina presenta con quella della cor- 

 rispondenza univoca fra due piani, egli mostra come essa si riconduca allo studio dei 

 sistemi omaloidici triplicemente infiniti di superlicie ; quindi espone un bellissimo metodo 

 per ottenere infiniti di tali sistemi quando si conosca la rappresentazione piana di una 

 superficie ; e mostra da ultimo con opportuni esempii come la Teoria delle trasforma- 

 zioni razionali conduca alla rappresentazione di molte superficie su altre, in particolare 

 alla rappresentazione piana di parecchie fra esse. Questa applicazione, unita al metodo 

 summenzionato, mostra chiaramente come dalla rappresentazione piana di una super- 

 ficie si possano ottenere, non solo le rappresentazioni di infinite altre . ma anche 

 innumerevoli trasformazioni razionali dello spazio. 



Malgrado gli scritti con cui Inghilterra, Germania, Italia contribuirono tanto poten- 

 temente a fondare e a completare questa Teoria, non si può dire che essa abbia rag- 

 giunto quel grado di perfezione che altre conseguirono. Ciò forse è dovuto al fatto, che 

 le pifi difficili questioni che si presentano in essa sono intimamente connesse con la de- 

 terminazione delle singolarità delle superficie, e su queste, bisogna confessarlo, le nostre 

 cognizioni sono molto ristrette. In ciò forse si deve cercare la spiegazione del fatto 

 che i geometri posteriori a quelli citati, si occuparono più di illustrare i metodi dei 

 maestri che di perfezionarli e riempirne le lacune (1). Eppure - (juantunque lo studio 

 diretto di una figura sia senza dubbio preferibile a quello di una sua trasformata - nello 

 stato attuale della Scienza, ben poche teorie meriterebbero quanto questa d'essere rese 

 perfette in tutti i loro particolari. Infatti, per dirla con le parole di un Grande (2), « se 

 si riflette ai procedimenti dell'Algebra e si cerca la ragione degli immensi vantaggi che 

 essa arreca alla Geometria, non si vede forse che essi sono dovuti alla facilità con 

 cui si possono far subire delle trasformazioni alle espressioni introdotte in principio ?, 

 trasformazioni il cui segreto e il cui meccanismo costituiscono la vera Scienza e sono 



(1) iSominerò fra questi la Memoria del prof. De Paolis Sopra un sistema omaloidico formato da 

 superficie d'ordine n con un punto [n — l]— pio [G. di Matematiche, t. Xlll), e quelli più l'ecenti su 

 alcune particolari trasformazioni involutorie dello spazio del Maptinetti {Rendiconti deWIstit. Lom- 

 bardo, 1885) e del Db Paolis {Transunti dell' Acc. dei Lincei. 1885^. 



Noterò qui, ciò che noo potei fare nel testo, che della corrispondenza multipla fra piani o spazi 

 si occuparono con metodi e scopi diversi il Wiener [Math. Annalen, t III); il Tognoli (G. di Mate- 

 matiche, t. X); il Reye {Geom. der Lage e Journal far Muthem., t. XClVj; il Segre [G. di Matematiche, 

 t. XXI); il VisALLi (in due memorie stampate a Messina nel 1884); e il Jung (Rendiconti dell'Acca- 

 demia dei Lincei, 21 novembre e 5 dicembre 1885; Rendiconti dell'Istituto Lombardo, 26 nov. 1886). 

 Delle tiasformazioni doppie di spazio si occupò il prof. Aschieri {Rendiconti dell'Istituto Lombardo, 

 serie li, v. 14 e 15), e più recentemente il Db Paolis {Uem. dei Lincei, 1884-85, il quale può riguar- 

 darsi come il fondatore della loro teoria generale. 



Dirò infine che è possibile rappresentare il piano punteggiato su una retta e lo spazio punteggiato 

 su un piano. Per eseguire la prima rappresentazione si può far corrispondere ogni punto del piano 

 ad una coppia di punti della retta [principio di trasporto di Hesse, G. di Borchardt, t. LXVI). Per la 

 seconda si può associare a un punto dello spazio la circonferenza avente per centro il piede della per- 

 pendicolare condotta da esso al piano rappresentativo e per raggio la lunghezza di questa p;-rpendico- 

 lare, aggiungendo che questa circonferenza sia percorsa in un senso se il punto sta da una determinata 

 parte del piano, nel senso contrario se sia dall'altra. Le leggi di questa corrispondenza furono riunite 

 dal FiEDLBR per formare la Ciclografìa (v. l'opera Q/klographie, Leipzig, 1883 ; e la 3> ed. che si sta 

 stampando della Darstellende Geometrie] e furono da lui applicati alla soluzione di parecchi problemi 

 (V. parecchie comunicazioni alla Naturfoscher-GesMschaft di Zurigo e il voi. V degli Ada mathematica). 



(2) Chasles. Apergu historique, 2= ed., p. 196. 



Serie II. Tom. XXXVIII. ^' 



