342 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



determinarne un numero finito. Il teorema di Bézout, che stabilisce il numero delle 

 soluzioni comuni a un sistema determinato di equazioni algebriche, è impotente alla 

 soluzione di quelle questioni ; perchè le equazioni che si ottengono tentando di ri- 

 solTere queste per via analitica , sono di forme particolari ; perciò quei problemi 

 rimasero per la maggior parte insoluti fino a questi ultimi tempi 'M Spettava a 

 Chasles la gloria di creare (1864) il « metodo delle caratteristiche », con cui egli potè 

 risolvere un gran numero di problemi dell'indicata specie pel caso in cui le curve 

 considerate siano coniche, e aprire una via seguendo la quale si potessero risolvere 

 anche nel caso di curve d'ordine qualunque '^-L I concetti fondamentali di esso sono 

 la considerazione continua delle curve degeneri e l'uso sistematico delle caratteristiche 

 di un sistema semplicemente infinito di curve piane - cioè di quei numeri che espri- 

 mono quante curve del sistema passino per un punto dato e quante tocchino una 



retta data. 



Pel caso in cui le curve considerate siano coniche, Chasles, guidato dall'induzione, 

 affermò che « il numero delle curve del sistema soddisfacenti a una nuova condizione 

 (semplice) si esprime con una funzione lineare omogenea delle caratteristiche del sistema, 

 i cui coefiìcienti dipendono unicamente da questa condizione ». Clebsch, Lindemann (3) 

 e altri credettero di poter dimostrare questa proposizione. Ma che i loro ragionamenti 

 non fossero concludenti, lo prova una serie di lavori in cui Halphen C^^) dimostrò 

 la fallacia della previsione di Chasles e indicò come debbasi modificare l'enunciato 

 precedentemente riportato. -- Tuttavia non si creda che questa scoperta distrugga i 

 risultati che insigni scienziati, quali Cayley v^) e Zeuthen 6) ^ ottennero in seguito ai 

 lavori di Chasles '"' ; che fortunatamente essi sono per la massima parte indipendenti 

 dal teorema di Chasles, e per gli altri è facile assegnare quali correzioni debbano 

 subire (*^) . 



(1) Fra le proposizioni enunciate da Steiner e di cui noi suoi posteri indaghiamo invano l'ori- 

 gine, se ne trovano parecchie (veggansi p. es. i voi. XXXVII, VL e IL del Giornale di Creile, o il 

 11 voi. delle Gesammelte Werke di Steiner, p. 389, 439 e 613), le quali fauno credere che egli pos- 

 sedesse qualche metodo per risolvere alcuni del problemi accennati nel testo. Parecchie si possono 

 dimostrare con una trasformazione quadratica, come notò il Berner nella sua dissertazione De trans- 

 formalione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita (Berolini, 1SG4 ). 



Il JoNQUiÈRES {Journal de Mathemathiques 1861, Compies rendus 1864, 1865 e 1866. trovò pure 

 modo di giungere alla soluzione di alcuni problemi di questa specie ; ma la via da esso seguita (che, 

 in sostanza, consiste in un'applicazione del teorema di BÉzouT) lo indusse certe volte in errore in 

 causa delle soluzioni improprie che egli non aveva separate: cfr. la bella memoria inserita dallo 

 Studt nel voi. XXVII dei Math. Annaleì^ 



(2) Comptes rendus 1864, 1865, 1866 e 1867. 



(3) Clebsch, Math. Annalen, t. VI. 



Lindemann, Vorlesungen uber Geometrie von A. Clebsch, t. l, p.399. 



(4) Comptes rendus 1876. Journal de l'Écnle poìythecnique, XLV Cahier. Proceedings of the London 

 math. Society, t. IX e X. Math. Annalen, v. XV. 



(5) Comptes rendus 1864. Philosophical Transactions, v. 158. 



(6i Comptes rendus, t. LXXIV e LXXV; Nouvelles Annales, 1866; ecc. 



(7) V. anche una nota del prof. Dino nei Comptes rendus del 1867 e la tesi del Maillard: 

 Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de courbes planes du Iroisiime ordre 



(Paris, 1871). . 



(8) Anche del teorema ehe il Cremona enunciò [Comptes rendus, t. LIX ) sui sistemi doppia- 

 mente infiniti di coniche come estensione di quello di Chasles, si può far uso purché si tenga conto 

 di quanto espose il Del Pezzo nella sua interessante memoria Sui sistemi di coniche [Rendiconto del- 

 l'Accademia di Napoli, 1884) e delle osservazioni più recenti dello Studt {Math. Ann., Bd. XXVII . 



