MONOGRAFIA STOKICA DI GINO LORIA 347 



superficie del terzo ordine ; che infine il Jordan (1' studiò a fondo la natura del- 

 l'equazione atta a determinare le rette di una superficie cubica ; avi'ò posti nelle mani 

 del lettore elementi sufficienti per trarre la conclusione (da me poc'anzi accennata) 

 che la Teoria di questi enti geometrici , da qualunque punto si consideri , ha oggi 

 raggiunto un ragguardévole grado di perfezione. 



Altrettanto non si può dire della Teoria delle superficie del quarto ordine, che di queste 

 solo alcune classi furono accuratamente studiate : di ciascuna di queste dirò brevemente. 



Collocherò in primo posto la sviluppabile circoscritta a due quàdriche e le ri- 

 gate di 4° grado: quella fu studiata da Poncelet C~) e Chasles v3'; queste da Chasles 

 stesso ("^ , da Cayley ^^J e più completamente dal Cremona (6). 



Porrò quindi le superficie di IV ordine in cui esistono schiere di coniche, e che 

 furono tutte determinate con istraordinaria sagacia da Kummer 'J). Fra esse due sono 

 degne di una speciale menzione, perchè furono oggetto di numerose ricerche ; la su- 

 perficie di IV ordine con conica doppia e la superficie Moniana di Steiner. 



Della prima Kummer scoperse nel 1864 la notevole proprietà, di avere la svilup- 

 pabile bitangente composta di cinque coni quadrici. Contemporaneamente Moutard (*^) 

 rinvenne questa proprietà nel caso in cui la linea doppia della superficie è il cerchio 

 imaginario all'infinito C'*), e trovò di più , nello stesso tempo di Darboux (^0' , 

 che in questo caso la superficie può far parte di un sistema triplo di superficie or- 

 togonali costituito di superficie della stessa natura. A partire da questo momento, le 

 superficie di IV ordine aventi per linea doppia il cerchio imaginario all'infinito furono 

 ripetutamente studiate dal Darboux (^0, dal Laguerre (1833-1886) (12) q (j^l Casey i^'^); 

 quelle avente per linea doppia una conica qualunque dal Cremona ''''), dal Geiser (1^ , 

 dallo Sturm (^^i , dallo Zeuthen i^'^) - che ne determinò le forme principali -, dal 

 Clebsch (18;^ fi^i Korndorfer (^9), dal Berzolari (20), e dal Domsch (21) - che vi applicò 



(1) G. di Liouville 1869; Traile des subslitutions et des équations algébriques. (Paris 1870). 

 2) Traile des propriétés projectiaes des flgures. 



(3) Comptes rendus 1862. 



(4) Comptes rendus 1861. 



i5) Phil. Transactions, 1864. 



(6) Memorie dell'Accademia dì Bologna, 1868. — Delle superficie rigate di 4° grado fu recente- 

 meate costruita dal Roh.'j una serie completa di modelli ; cfr. una nota di questo scieaziato nel 

 voi. XXVI li dei Math. Annalen. 



(7; Berliner Monatsberichte 1864, oppure 0. dì Borchardt, t. LXIV. 



(8) Nouttelles Annales de Mathématiques, 2° serie, t, V. 



(9 La ciclide di Dupin è compresa fra queste. 



(10) Cfr. Comptes rendus 1804. 



(11) Le ricerche di Darboux si trovano riassunte nel libro già citato: Sur une classe remar- 

 quable de courbes et de surfaces algébriques (Paiis, 1873). 



(12) V. la lista di lavori posti in nne all'opera citata nella nota precedente. 



(13) Phil. Transactions, 1871. 



(14 Rendiconti del R. Istituto Lombardo, marzo 1871. 



(15) G. di Borchardt, t. LXX. 



(16) Math. Annalen, t. IV. 



(17) Om Fiader af jjerde Orden med Dobbeltkeglesnit (Kjobenavn, 1879 . Io ho pubblicata una tra- 

 duzione italiana di questa Memoria negli Annali di Matematica, serie 2°, t. XIV. 



18 G. di Borchardt, t. LXIX. 

 (19) Math. Annalen, t. 1, II, 111 e IV. 

 (20j Annali di Matematica, serie 2", t. XIII. 

 (21) Leipiiger Inaugurai- Dissertation (Greifswald, 1885). 



